Compactibilidad y acotación del operador de multiplicación .

Question

Necesito ayuda con el siguiente problema,

Si $1\le p < \infty$ , $(m_k)_{k\in \mathbb N}$ y $K \subset \ell^p(\mathbb N)$ y

$T: \ell^p(\mathbb N) \to \ell^p(\mathbb N)$ define el operador de multiplicación : $(Tx_k)_{k\in \mathbb N} = (m_kx_k)_{k\in N}$ ¿Cómo puedo mostrar Si $K$ es relativamente compacto, entonces $K$ está acotado y $\lim_{n\to +\infty} \sum_{i=n}^\infty |x_i|^p = 0$ uniformemente para todos $(x_i)_{i\in \mathbb N} \in K$ , y

$T$ es compacta si y sólo si $(m_k)_{k\in \mathbb N} \in c_0(\mathbb N)$ .

¿Qué puedo decir sobre el espectro del operador?

Gracias por su ayuda.

Answer 1

Si $K$ es relativamente compacta, entonces $\overline{K}$ es compacta, lo que implica que $\overline{K}$ está limitada. Porque $K\subset\overline{K}$ concluimos que $K$ está limitada.

Supongamos por el contrario que el conjunto $K$ no tiene la propiedad de la uniformidad, es decir, para un determinado $\epsilon>0$ y para todos $n$ podemos encontrar $x_n$ tal que $$\sum_{i=n}^\infty |x_{i,n}|^p>\epsilon$$

Utilizando el hecho de que $K$ es relativamente compacta, se puede extraer una subsecuencia $x_n$ (sin reetiquetar) tal que $x_n\rightarrow x$ . ¿Se puede llegar a una contradicción desde aquí?

Supongamos ahora que $T$ es compacta, por lo que se tiene que si $u_n\rightarrow u$ débilmente entonces $Tu_n\rightarrow Tu$ fuertemente. Si tomas la secuencia $e_n$ ¿Qué ocurre? Por otro lado supongamos que $m\in c_0$ . Trate de aproximar $T$ por una secuencia de operadores de rango finito.