Esta pregunta no tiene la ambición de ser muy precisa, sino más bien filosófica.
La pregunta es la siguiente: ¿tiene la factorización de Stein de un morfismo algún tipo de propiedad universal? es decir, todos los morfismos de algún tipo se factorizan a través de ella, como la situación que se tiene en el caso de los productos fibra
Querido Yusky, considera una correcto mapa holomorfo de espacios complejos $f:X\to Y$ . (Tenga en cuenta que no hay absolutamente ninguna condición en estos espacios complejos)
Se puede considerar el conjunto de componentes conexas de las fibras de $f$ llaman a ese conjunto $|Y'|$ .
La factorización de Stein te dice que puedes dotar a ese conjunto de la estructura de un espacio complejo $Y'=(|Y'|,\mathcal O_Y)$ de modo que existe una factorización canónica $f=\pi\circ f'$ donde $\pi:Y'\to Y$ es un morfismo finito y $f':Y \to Y'$ es holomorfa, propia, suryectiva con fibras conexas y satisface $f'_{\ast}\mathcal O_X=\mathcal O_Y'$ .
La propiedad universal que busca es la siguiente :
Propiedad universal Si $g: X\to Z$ es un morfismo de espacios complejos constante en las componentes conexas de las fibras de $f$ entonces existe un único mapa holomórfico $g':Y'\to Z$ con $g=g'\circ f'$ .
Esto se debe a Stein, Remmert y Cartan, y utiliza alguna herramienta poderosa: o bien el teorema del mapa propio de Remmert, según el cual la imagen propia de un conjunto analítico es analítica, o bien el célebre teorema de la imagen directa (aún más fuerte) de Grauert, según el cual la imagen directa de una gavilla coherente bajo un mapa holomorfo propio es coherente.
Bibliografía ¿Qué mejor referencia que un libro escrito por los dos gigantes del análisis complejo del siglo XX antes mencionados? Consulte la página 219 de
Grauert, H. y Remmert, R.: Coherent analytic sheaves. Grundl. Math. Wiss. 265, Springer- Verlag (1984).
Existe una especie de "propiedad universal" de la factorización de Stein del tipo siguiente.
Teorema (Estabilidad de la factorización bajo deformación) . Sea $f \colon X \to Y$ sea un mapa holomorfo suryectivo entre variedades proyectivas complejas, y sea $$X \stackrel{\alpha}{\longrightarrow} Z \stackrel{\beta}{\longrightarrow} Y$$ sea la factorización de Stein correspondiente. Entonces cualquier deformación $$f' \colon X \longrightarrow Y$$ de $f$ factores a través de $\beta$ .
Para una prueba, véase este documento por Kebekus y Peternell.
Hay otro tipo de "propiedad universal" que se mantiene no sólo para la factorización de Stein, sino para cualquier morfismo con fibras conectadas. Es la siguiente
Lema de rigidez. Sea $\alpha \colon X \to Z$ y $f \colon X \to Y$ sean morfismos propios de variedades proyectivas complejas. Supongamos que $\alpha_* \mathcal{O}_X =\mathcal{O}_Z$ .
Si $f$ contrae todas las fibras de $\alpha$ y luego factoriza a través de $\alpha$ .
Para una demostración, véase [Debarre, Higher-Dimensional Algebraic Geometry, Lemma 1.15 p. 12].
Para un morfismo propio de esquemas $f:X\to Y$ la factorización de Stein puede definirse simplemente como $Z=\mathrm{Spec} f_*\mathcal{O}_X$ . Esta construcción tiene sentido para cualquier morfismo cuasicompacto y cuasiseparado (para garantizar que $f_*\mathcal{O}_X$ es cuasicoherente), y entonces $Z$ es el "casco afín" de $f$ universal para factorizaciones $X\to T\to Y$ donde $T\to Y$ es afín . Véase EGA1, (9.1.21) (edición de Springer).
Esta propiedad universal es fácil de demostrar; en el caso propio, la propiedad enunciada por Georges, relativa a las componentes conexas de las fibras, es más profunda.
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