Conexión entre los teoremas de Mayer-Vietoris y Seifert-Van Kampen de dimensión superior

Question

Acabo de conocer el teorema de Mayer-Vietoris, que permite calcular los grupos de homología de un espacio considerando los grupos de homología de determinados subespacios. Esto parece análogo al teorema de Seifert-Van Kampen y sus análogos de mayor dimensión que, a grandes rasgos (según tengo entendido), hacen lo mismo con los grupos homotópicos de un espacio.

¿Existe algún tipo de conexión rigurosa entre estos teoremas?

Answer 1

En el documento hay más información, pero no una respuesta a su pregunta concreta. Modelización y cálculo de tipos de homotopía:I (MCHT:I), cuya versión publicada, así como otros materiales del mismo volumen, están disponibles en Elsevier haciendo clic en este enlace .

Hay que tener claros los principios básicos. Los grupos de homotopía sólo se definen para espacios con un punto base: a menudo se descuida la distinción entre éste y un espacio.

Los grupos de homología singular se definen para cualquier espacio topológico $X$ y satisfacen una secuencia exacta de Mayer-Vietoris siempre que $X= U \cup V$ y, digamos, $U,V$ están abiertas en $X$ . Por lo general, esta secuencia ofrece información sobre $H_n(X)$ sólo hasta una extensión de grupos abelianos: por tanto, no le dirá necesariamente si la respuesta es $Z_2\oplus Z_2$ o $Z_4$ .

Por el contrario, los diversos teoremas generalizados de Seifert-van Kampen dan información colímite, es decir, información completa, bajo algún tipo de condición de apertura, pero sólo para ciertas invariantes de espacios estructurados y sólo bajo cierta información de conectividad.

Así, en la dimensión $1$ obtenemos un pushout para $\pi_1(X,S)$ donde $S$ es un configure de puntos base, pero sólo si $S$ cumple cada componente de trayectoria de la intersección de $S$ con $U,V, U \cap V$ . Si realmente desea información sobre algún grupo $\pi_1(X,s)$ para $s \in S$ puede que tenga que hacer algún trabajo duro de teoría combinatoria de grupos(oid), pero una elección de algunos de tales $s$ puede destruir cualquier información de simetría en la situación original, y puede reflejar la actitud: "la respuesta tiene ser un grupo!". Véase este debate para más información.

En dimensión $2$ obtenemos información sobre el módulo cruzado $$\Pi(X,A,S):= (\pi_2(X,A,S)\to \pi_1(A,S)) . $$ de nuevo si $X=U \cup V$ con $U,V$ abierto y con algunas condiciones de conectividad, esta vez en dimensiones $0$ y $1$ . Son una limitación pero cuando funciona se obtiene una información completa, no obtenible, de otro modo, sobre el módulo cruzado no abeliano en general, como arriba, que es también un modelo de homotopía $2$ -tipos.

Aún queda trabajo por hacer para calcular los grupos de homotopía a partir de la información más global. Es sensato obtener un resultado completo sobre tipos de homotopía de encolado, en lugar de sobre invariantes de homotopía individuales.

Tanto la secuencia de Mayer-Vietoris como los teoremas de Seifert-van Kampen son de local a global resultados. Sin embargo, estos últimos contienen información no abeliana, lo que no es habitual. Obtener versiones noabelianas de mayor dimensión del grupo fundamental fue un objetivo de los topólogos de principios del siglo XX. Una cuestión que se plantea es: ¿para qué problemas son más adecuados los dos enfoques?

$1)$ el enfoque indicado anteriormente, utilizando estructuras algebraicas estrictas definidas para algunos espacios estructurados, o bien

$2)$ el enfoque mediante débil $\infty$ -categorías de alguna forma, definidas para todos los espacios.

Una de las características de la teoría de homotopía es que las indentificaciones en dimensiones bajas suelen afectar fuertemente a los invariantes de dimensiones superiores. Un método para resolver este problema consiste en utilizar sistemas algebraicos que tengan estructura en una serie de dimensiones. $0,1, \ldots, n$ ; esto se ha logrado utilizando estructuras estrictas de la forma de groupoides superiores.

Espero que eso ayude.