Demuéstralo: Sea $x,y \in \mathbb{R}$ . Si $x^{2}=y^{2}$ entonces $x=\pm{y}$ .

Question

Demuéstralo: Sea $x,y \in \mathbb{R}$ . Si $x^{2}=y^{2}$ entonces $x=\pm{y}$ .

Mi intento: Si $x^{2}=y^{2}$ entonces, $\sqrt{x^{2}}=\sqrt{y^{2}}$ $\rightarrow$ $\pm{x}=\pm{y}$ $\rightarrow$ $x=\pm{y}$ y $-x=\pm{y}$ . Y creo que eso me dejaría $x=y$ , $x=-y$ , $-x=y$ , $-x=-y$ .

Pero digamos que $x^{2}=4$ Así que $y^{2}=4$ $\rightarrow$ $\pm{2}=\pm{2}$ entonces eso me daría $2=2$ , $2=-2$ , $-2=2$ y $-2=-2$ . Pero tengo un problema en el $2=-2$ parte.

Answer 1

Generalmente es mala idea "sacar raíces cuadradas de ambos lados". Complica demasiado las cosas, ya que la forma correcta de manejarlo es $\sqrt{x^2}=|x|$ . Evita el valor absoluto para evitar casos. He aquí cómo.

Date cuenta de que de $x^2=y^2$ obtienes $x^2-y^2=0$ . Ahora factor para obtener $(x+y)(x-y)=0$ . Pero esto significa que al menos uno de esos términos tuvo que ser $0$ Así que $x=\pm y$ .

Answer 2

Hay que tomar las señales con constancia. Y $\sqrt {x^2}$ convencionalmente significa la raíz cuadrada positiva $|x|$ .

Otro enfoque sería decir $x^2-y^2=0=(x+y)(x-y)$ por lo que tiene $y=-x$ o $y=x$ .

$x^2=y^2$ no implica por tanto $x=y$ Así que $x=2, y=-2$ es una solución al problema $x^2=y^2=4$ que pertenece al factor $x+y$ y de hecho $x=-y$ según sea necesario. Cada una de las cuatro combinaciones de signos $x=\pm 2, y=\pm 2$ pertenece a uno de los dos factores. Lo que has hecho es elegir el factor equivocado.

Con $x=2, y=-2$ la factorización es $0\times 4=0$ . No se puede concluir que $4=0$ de esto - la factorización indica que eso implicaría una división oculta por cero.