¿Qué pasa con el teorema de Wick?

Question

Perdón por el título tonto.

Me gustaría entender el teorema de Wick. Más concretamente, lo he visto aparecer en varios contextos diferentes y estoy realmente desconcertado por las distintas afirmaciones que he visto al respecto. Mi formación/interés se centra en los módulos de las curvas, por si sirve de ayuda.

La primera versión, que es también la única que he visto más de una vez, es en el contexto de un espacio de cuña infinita. Aquí el teorema de Wick es una fórmula sobre cómo descomponer cualquier producto de los operadores fermiónicos $\psi_k$ y sus colindantes $\psi_k^\ast$ como una suma sobre productos normalmente ordenados. Así es como se explica, por ejemplo, en Kac-Raina.

Una segunda versión se encuentra en "Graphs on surfaces" de Lando y Zvonkin como Teorema 3.2.5. Aquí es una declaración acerca de cómo integrar un polinomio contra una medida de Gauss en la línea real. Si $\langle f \rangle$ denota la integral $\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{\mathbb R} f(x) \exp(-x^2/2) dx$ entonces el teorema de Wick afirma que si f es un producto $f = f_1 f_2 \cdots f_{2k}$ de polinomios lineales, entonces $\langle f \rangle$ puede escribirse como una suma explícita de productos de pares $\langle f_if_j\rangle$ .

Ahora puedo creer de algún modo que los dos teoremas anteriores hablan de lo mismo o que el segundo es un caso especial del primero. Pero lo que realmente me hizo rascarme la cabeza fue la siguiente afirmación de la página 2 del artículo de Getzler y Kapranov sobre las operadas modulares (perdón por la cita tan larga):

[...] Como modelo para este cálculo, tomemos la fórmula para la enumeración de grafos conocida en física matemática como Teorema de Wick. Consideremos la expansión asintótica de la integral $W(\xi,\hbar) = \log \int \exp \frac 1 \hbar \left( x \xi - \frac{x^2}{2} + \sum_{2g-2+n > 0} \frac{a_{g,n}\hbar^g x^n}{n!}\right) \frac{dx}{\sqrt{2\pi\hbar}}$ considerada como una serie de potencias en $\xi$ y $\hbar$ . (La expansión asintótica es independiente del dominio de integración, siempre que contenga 0). Sea $\Gamma((g,n))$ sea el conjunto de clases de isomorfismo de grafos conexos $G$ con un mapa $g$ a partir de los vértices Vert(G) de $G$ a $\{0,1,2,...\}$ y teniendo exactamente $n$ patas numeradas del 1 al $n$ tal que $g = b_1 + \sum_{v\in \mathrm{Vert}(G)} g(v)$ donde $b_1$ es el primer número de Betti del gráfico. Si $v$ es un vértice de $G$ denotemos por $n(g)$ su valencia, y sea |Aut(G)| la cardinalidad del grupo de automorfismo de $G$ . El teorema de Wick establece que $W \sim \frac 1 \hbar \left(\frac{\xi^2}{2} + \sum_{2g-2+n>0} \frac{\hbar^g\xi^n}{n!} \sum_{G\in \Gamma((g,n))} \frac{1}{|\mathrm{Aut}(G)|} \prod_{v\in \mathrm{Vert}(G)} a_{g(v),n(v)}\right)$ .

También escuché una versión del teorema de Wick en una charla de Rahul Pandharipandhe hace unos dos meses, que no podré exponer correctamente aquí ya que no encuentro sentido en mis apuntes. En esa versión del teorema de Wick se estudiaba un $n$ -de una variedad consigo misma interpretándola como un espacio de configuración de $n$ "partículas" que se mueven en la variedad. El objetivo era simplificar ciertos productos complicados de clases de cohomología dadas por diagonales (= partículas coincidentes) y clases de Chern del haz tangente/cotangente en una de las "partículas". Todo esto se hacía pictóricamente, y uno representaba las diagonales como una línea que conectaba los dos puntos, lo que al menos muestra alguna conexión con el formalismo de Wick, ya que creo haber visto en algún momento estas líneas entre partículas también en el contexto de los diagramas de Feynman.

¿Puede alguien dar una pista sobre cómo encajan estos teoremas de Wick?

Answer 1

Demos por sentada la fórmula de integración de Gauss, que vale tanto para las integrales bosónicas como para las fermiónicas, si se interpretan correctamente:

Teorema (Gauss, Wick): Sea $X$ sea un espacio vectorial con una forma de volumen elegida ${\rm d}x$ , $f: X \to \mathbb C$ un polinomio, y $a: X^{\vee 2} \to \mathbb C$ una forma bilineal simétrica con inversa $a^{-1}\in X^{\vee 2}$ tal que la medida gaussiana $\exp(-\frac12 a\cdot x^{\otimes 2}){\rm d}x$ se define. (Así, por ejemplo $X$ puede ser bosónico de dimensión finita y $a$ puede tener parte real positiva-definida; o bien $a$ puede ser invertible puro-imaginario y todas las integrales pueden tomarse como condicionalmente convergentes; o bien $X$ puede tener partes fermiónicas pares y la integral puede definirse a la Berezin). Entonces tenemos $$ \int_X \sum f^{(n)} \cdot \frac{x^{\otimes n}}{n!} \exp \left(-\frac12 a\cdot x^{\otimes 2}\right){\rm d}x = \sqrt{\det(2\pi a)} \sum f^{(2k)} \cdot \frac{(a^{-1})^{\otimes 2k}}{2^kk!} $$ O, en todo caso, cuando $X$ es finito-dimensional Bosonic esto es correcto. En el caso fermiónico, se desvía por unos $\sqrt{-2\pi}$ s, y $\det$ es el superdeterminante de Berezin. Aquí $f^{(n)} : X^{\vee n} \to \mathbb C$ es el $n$ coeficiente de Taylor de $f$ en $0$ es un tensor simétrico. En el caso fermiónico, hay que tener cierto cuidado con palabras como "simétrico", pero pasaré por alto esta sutileza.

Prueba: Integrar por partes. $\Box$

Ahora el truco está en interpretar combinatorialmente el RHS: debes dibujar cada sumando como un gráfico con un vértice, etiquetado como $f^{(2k)}$ y $k$ bucles propios, etiquetados $a^{-1}$ ; entonces si cuentas los automorfismos correctamente, el denominador del sumando es el número de automorfismos de la gráfica, y el numerador es la "evaluación" de la gráfica como un dibujo de contracciones tensoriales. También se pueden dibujar los sumandos de la izquierda combinatoriamente: un vértice con $n$ hilos entrantes corresponde a $f^{(n)}$ y el $n!$ cuenta las simetrías.

¿Qué habría pasado si no hubieras tenido un solo polinomio, sino un producto? Puedes dibujar $\frac1{m!} f^{(m)} \otimes \frac1{n!} g^{(n)}$ como dos vértices, uno etiquetado $f$ con $m$ hilos entrantes y el otro etiquetado $g$ con $n$ hebras entrantes, y las simetrías son correctas, y utilizando $\frac1{m!} f^{(m)} \otimes \frac1{n!} g^{(n)} = \binom{m+n}{m,n} (f^{(n)}\otimes g^{(m)})$ y el teorema anterior, el lado derecho puede tomarse ahora como una suma de todos los grafos (posiblemente desconectados) con dos vértices, uno etiquetado como $f$ y el otro etiquetado $g$ donde las aristas siguen teniendo valor $a^{-1}$ y un grafo etiquetado se pondera por su grupo de automorfismo.

Bien, ahora vamos a intentar calcular asintóticas de integrales, y en adelante ignoraré los prefactores "determinantes". Mi dominio de integración será siempre una vecindad "pequeña" de $0$ . Me interesa el $\hbar \to 0$ asintótica de $$ \int_X \exp \frac1\hbar\left( - a\cdot \frac{x^{\otimes 2}}2 + \sum_{n\geq 3} b^{(n)}\cdot \frac{x^{\otimes n}}{n!} \right) {\rm d}x $$ Primer reescalado $x \mapsto \sqrt\hbar x$ esto sólo reescala la integral global en $\hbar^{\dim X/2}$ y estoy abandonando esos términos. Entonces la integral es $\exp\bigl( - a\cdot \frac{x^{\otimes 2}}2 + O(\hbar) \bigr)$ así que mantén el $O(1)$ en el exponente, pero amplía el $O(\hbar)$ parte: $$ = \int_X {\rm d}x \exp \left(-\frac12 a\cdot x^{\otimes 2}\right) \times \sum_{m\geq 0} \frac1{m!} \left( \sum_{n\geq 3} b^{(n)}\cdot \frac{x^{\otimes n}}{n!} \right)^m$$ Ampliando aún más la suma, el $b$ s siguen pareciendo vértices con $n\geq 3$ hilos entrantes (y $n!$ simetrías), pero ahora puedo tener $m$ muchos de ellos, ponderados por la $m!$ simetrías a partir de la permutación de los vértices. Así que la suma es sobre todas las colecciones de vértices trivalentes y superiores, contados con simetría, y un $n$ -vértice valorado $\hbar^{\frac n 2 - 1}b^{(n)}$ .

Luego los integramos conectándolos. Todo junto, obtenemos: $$ = \sum_{\text{graphs } \Gamma } \frac{ \hbar^{\#} \operatorname{ev} (\Gamma) }{ \lvert \operatorname{Aut} \Gamma \rvert } $$ Los grafos pueden estar desconectados, vacíos, tener aristas paralelas y bucles propios, etc. Calculamos $\operatorname{ev}(\Gamma)$ asignando $a^{-1}$ a cada arista, $b^{(n)}$ a un $n$ -vértice valente, y tensores de contracción. La potencia en $\hbar$ es $-1$ para cada vértice, y $\frac12$ para cada media arista (cada parte de una arista que llega a un vértice), es decir, es $-1$ para cada vértice, $+1$ para cada arista, es decir, es el negativo de la característica de Euler del grafo.

Por último, permítanme llegar a la versión de Getzler-Kapranov. Arriba, he utilizado el hecho de que si $\star$ es una suma de cosas conectadas (contadas con simetría), entonces $\exp(\star)$ es una suma (contada con simetría) sobre todas las posibles colecciones de copias disjuntas de $\star$ . Hemos terminado con una suma con simetría sobre cosas disjuntas. Tomando $\log$ da la suma de las cosas conectadas. Para un grafo conectado, la característica negativa de Euler es precisamente uno menos que el primer número de Betti.

Ejercicio: Vuelva a realizar los cálculos anteriores con $O(\hbar)$ al exponente de la integral inicial, para llegar al resultado preciso de Getzler-Kapranov.

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Por último, debo decir una cosa más sobre los diagramas de Feynman. Feynman y Dyson discreparon sobre el significado de los diagramas de Feynman: Feynman pensaba en ellos como imágenes de partículas interactuando, y Dyson pensaba en ellos como yo lo hago más arriba: como gráficos que calculan la asintótica de las integrales.

La cuestión es la siguiente. Las integrales más importantes como las anteriores que interesan a los físicos proceden de teorías cuánticas de campos particularmente agradables, en las que $X$ es un espacio de secciones de algún haz vectorial (con alguna estructura extra) sobre una variedad riemanniana, y $a$ es el Laplaciano, y el $b^{(n)}$ son todos "locales". En esta situación, $a^{-1}$ calcula el "flujo de calor" para el colector riemanniano, que no es ni más ni menos que una integral sobre todas las trayectorias que conectan dos puntos finales de cierta "amplitud para que una partícula libre viaje a lo largo de esta trayectoria". A continuación, $\operatorname{ev}(\Gamma)$ puede interpretarse como una integral sobre todas las incrustaciones de $\Gamma$ en su colector de: la amplitud para su partícula para viajar a lo largo de los bordes, veces una amplitud para una "interacción" en los vértices.

Una buena referencia es el primer o segundo capítulo del reciente libro de Costello sobre QFT.