Hay un anillo $R$ y su subring $K$ con unidad. Tenemos una matriz $A$ de orden $n$ en $R$ . Alguien dijo, que si $A^m$ para $m=1,...,n$ puede representarse como una suma de matrices sobre $R$ que una integral sobre $K$ que $A$ es integral sobre $K$ . ¿Por qué?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Robert Claypool
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--- Esto debería ir como comentario en la respuesta de @guest. ----
Sea $$ E = \small \begin{bmatrix} 1 & . & . & . & . & . & . & . \\\ 0 & 1 & . & . & . & . & . & . \\\ 0 & 1/2 & 1 & . & . & . & . & . \\\ 0 & 1/6 & 1 & 1 & . & . & . & . \\\ 0 & 1/24 & 7/12 & 3/2 & 1 & . & . & . \\\ 0 & 1/120 & 1/4 & 5/4 & 2 & 1 & . & . \\\ 0 & 1/720 & 31/360 & 3/4 & 13/6 & 5/2 & 1 & . \\\ 0 & 1/5040 & 1/40 & 43/120 & 5/3 & 10/3 & 3 & 1 \end{bmatrix} $$ (que es la matriz factorialmente escalada de los números de Stirling del 2º tipo), entonces definamos $$ M = E \cdot diag(1,2,4,8,16,2^5,2^6,2^7) \cdot E^{-1} $$ Entonces M tiene valores propios integrales pero tiene entradas fraccionarias: $$ M= \small \begin{bmatrix} 1 & . & . & . & . & . & . & . \\\ 0 & 2 & . & . & . & . & . & . \\\ 0 & -1 & 4 & . & . & . & . & . \\\ 0 & 1 & -4 & 8 & . & . & . & . \\\ 0 & -13/12 & 5 & -12 & 16 & . & . & . \\\ 0 & 5/4 & -19/3 & 18 & -32 & 32 & . & . \\\ 0 & -541/360 & 49/6 & -26 & 56 & -80 & 64 & . \\\ 0 & 223/120 & -961/90 & 37 & -272/3 & 160 & -192 & 128 \end{bmatrix} $$
¿Hay algo que haya entendido mal en la pregunta o en su respuesta?
