conexión pull-back

Question

Tengo una pregunta relacionada con la definición de la conexión pull-back, más concretamente sobre su unicidad o la forma canónica de inducirla.

La definición que se encuentra en general es la siguiente: sea $F:P\rightarrow B$ es un mapa entre múltiples diferenciables, y $\pi:E\rightarrow B$ sea un haz vectorial y $\nabla$ una conexión en $E$ . A continuación, la conexión $F^*\nabla$ viene determinada de forma única por la siguiente relación

$(F^*\nabla)_X(F^* s):=F^*(\nabla_{df(X)} s)$ .

Esto debería determinar de forma única la conexión, ¿verdad?

Empecemos por el caso más trivial, cuando $B$ es un punto. Entonces $E$ es un espacio vectorial y el pull-back de $E$ es un espacio vectorial trivial sobre $P$ . Una conexión en $E\rightarrow pt$ es un endomorfismo de $E$ (que trivialmente satisface la relación de Leibniz). ¿Podría alguien explicar cómo induce eso canónicamente una conexión en $P\times E$ presumiblemente la conexión trivial $d$ si se parte del endomorfismo cero de $E$ ? La relación de Leibniz no es suficiente. Se podría decir que hagamos una convención aquí. Pero la cuestión más general es cómo se define $(F^*\nabla)_X$ cuando $X\in\ker{dF}$ ¿En general?

Answer 1

El ejemplo de OP no es correcto por un punto ya.

En primer lugar, la conexión es un operador diferencial $\nabla: \Gamma(E) \otimes TX \rightarrow \Gamma (E)$ de primer orden con un símbolo $\partial$ .

Esto equivale a decir que satisface la regla de Leibniz en el siguiente sentido:

$\nabla_{v} (f \gamma) = f\nabla_v(\gamma) + \partial_v (f) \gamma$

Para un punto, ni siquiera es necesario comprobar la regla de Leibniz, porque $TX = 0$ por lo que no hay ningún lugar desde el que se pueda obtener un automorfismo. La conexión permite derivar las secciones a lo largo de un campo vectorial y todo campo vectorial sobre un punto es $0$ .

Además, el pullback de la conexión (que se define correctamente por la fórmula del post) es una conexión trivial sobre un haz trivial (y es canónica, porque todas las fibras se identifican canónicamente).