conexión pull-back

Question

Tengo una pregunta relacionada con la definición de la conexión pull-back, más concretamente sobre su unicidad o la forma canónica de inducirla.

La definición que se encuentra en general es la siguiente: sea $F:P\rightarrow B$ es un mapa entre múltiples diferenciables, y $\pi:E\rightarrow B$ sea un haz vectorial y $\nabla$ una conexión en $E$ . A continuación, la conexión $F^*\nabla$ viene determinada de forma única por la siguiente relación

$(F^*\nabla)_X(F^* s):=F^*(\nabla_{df(X)} s)$ .

Esto debería determinar de forma única la conexión, ¿verdad?

Empecemos por el caso más trivial, cuando $B$ es un punto. Entonces $E$ es un espacio vectorial y el pull-back de $E$ es un espacio vectorial trivial sobre $P$ . Una conexión en $E\rightarrow pt$ es un endomorfismo de $E$ (que trivialmente satisface la relación de Leibniz). ¿Podría alguien explicar cómo induce eso canónicamente una conexión en $P\times E$ presumiblemente la conexión trivial $d$ si se parte del endomorfismo cero de $E$ ? La relación de Leibniz no es suficiente. Se podría decir que hagamos una convención aquí. Pero la cuestión más general es cómo se define $(F^*\nabla)_X$ cuando $X\in\ker{dF}$ ¿En general?

Answer 1

Este es mi resumen de la situación:

1) En primer lugar, observe que el espacio de secciones locales del haz pullback está generado por el espacio de secciones del haz original compuesto con el mapa $F$ . (Esto se expresa mejor utilizando el lenguaje de las gavillas)

2) Entonces, utilizando la regla de Leibniz, basta con definir la conexión pullback sobre una sección obtenida componiendo una sección del haz original con $F$ .

3) La fórmula anterior lo consigue. Vale la pena señalar que en esta fórmula debe ver $X$ como un único vector y no como campo vectorial.

Answer 2

Sólo para poner lo que otros han dicho en una fórmula explícita, tenga en cuenta que cualquier sección de $F^*E$ es de la forma

$\sum_j \varphi_j F^*s_j$ ,

para ciertos $\varphi_1, \ldots, \varphi_n \in C^{\infty}(P)$ y $s_1, \ldots, s_n \in \Gamma^{\infty}(E)$ . Entonces, en la notación de la pregunta (con $X \in T_pP$ un único vector tangente), en $p \in P$ tenemos por la regla de Leibniz y la relación definitoria de $F^*\nabla$ ,

$(F^*\nabla)_X \left(\sum_j \varphi_j F^*s_j\right) = \sum_j \left( d\varphi_j(X) F^*s_j + \varphi_j (F^*\nabla)_X F^*s_j \right) = \sum_j \left( d\varphi_j(X) F^*s_j + \varphi_j F^*(\nabla_{dF(X)}s_j) \right) $

(con todo evaluado en $p$ en su caso). Esto devuelve $F^*\nabla = d$ en su ejemplo donde $B$ es un punto y se toma el endomorfismo cero de $E$ .

Answer 3

Hola, he visto muchas veces la ecuación que has dado como definición. Por ejemplo, creo que también se utiliza en un artículo correspondiente de Wikipedia. Sin embargo, como bien has señalado, no ofrece una descripción razonable/única. Una mejor formulación/definición de la conexión pullback se puede encontrar por ejemplo en el libro de Milnor y Stasheff 'Clases características' en la p. 292, Lemma 3 y su demostración (definición por propiedad universal/diagrama conmutativo; demostración: cálculo en coordenadas locales; es la versión precisa de lo que la ecuación que has dado intenta capturar). Espero que esto ayude más o menos.

Answer 4

Véase 19.12.6 (página 250) en este Libro .

Answer 5

Por Matt: La relación $(F^*\nabla)_X=0$ no satisface la relación de Leibniz. Mientras tanto, he encontrado la respuesta a mi pregunta (un amigo me la ha aclarado).

Resulta que existe un isomorfismo $\Gamma(P;\pi^*E)\simeq \Gamma(P;\mathbb{C})\otimes \Gamma(B;E)$ donde el producto tensorial es sobre $\Gamma(B;\mathbb{C})$ . Obviamente es cierto cuando $E$ es un espacio vectorial. Ahora usa la relación de Leibniz $\nabla_X(f\otimes s)=X(f)\otimes s+f\otimes\nabla_Xs$ para ampliar la conexión de $\Gamma(B;E)$ a $\Gamma (P;\pi^*E)$ . En el caso trivial se obtiene efectivamente que $\nabla_X(f\otimes s)=X(f)\otimes s$ .