Es $[0,1]\times [0,1]$ homeomorfo de $[0,1]\times [0,1]\times [0,1]$ ?

Question

Es $[0,1]\times [0,1]$ homeomorfo de $[0,1]\times [0,1]\times [0,1]$ ?

Las propiedades que he aprendido, es decir, compacidad, conectividad, etc., no me permiten responder a la pregunta.

Sólo he aprendido topología de conjuntos de puntos, ¿es posible responder a esta pregunta sólo con eso?

Answer 1

Puede resultar que la forma más fácil de probar $[0,1]^2$ y $[0,1]^3$ no son homeomórficas es observar

1. Para cualquier punto $p \in [0,1]^3$ el espacio $[0,1]^3 \setminus \{p\}$ está simplemente conectada.
2. El espacio $[0,1]^2 \setminus \{p\}$ es no simplemente conectados para cualquier punto del interior del cuadrado.

El punto 1 es fácil de demostrar. Por desgracia, el punto 2 requiere algo más que las ideas básicas de topología de conjuntos de puntos.

Otra posible estrategia: tenga en cuenta que el "límite" de $[0,1]^2$ es un cuadrado 1d, mientras que la "frontera" de $[0,1]^3$ es un cubo 2d. Podemos distinguir entre un cuadrado 1d y un cubo 2d observando que la eliminación de dos puntos puede desconectar el primero, pero no el segundo.

Por desgracia, no está claro cómo caracterizar topológicamente los puntos de la frontera. Para $[0,1]^2$ podemos caracterizar los puntos límite como los puntos $p$ tal que $[0,1]^2 \setminus \{p\}$ es simplemente conexo, pero para ello también se utilizan ideas que van más allá de la topología básica de conjuntos de puntos. Además, si la simple conectividad fuera aceptable, podríamos utilizar la primera prueba descrita anteriormente.