Demostrar que para $\forall x \in (0,1]$ , $\exists n \in \mathbb{N}$ tal que $\frac{1}{n+1} \leq x \leq \frac{1}{n}$

Question

Demostrar que $\forall x \in (0,1]$ , $\exists n \in \mathbb{N}$ tal que $\frac{1}{n+1} \leq x \leq \frac{1}{n}$

Se trata de una afirmación completamente obvia (se daba por supuesta en otra demostración) y, sin embargo, no consigo encontrar una demostración estrictamente formal. Por supuesto, si tomamos $A$ el conjunto de $n$ tal que $f(n)=\frac{1}{n}-x \geq 0$ y demostrar que este conjunto está acotado por encima, entonces $\sup(A)$ (o $\max(A)$ desde $A \in \mathbb{N}$ ) será el deseado $n$ . Podríamos demostrar que $A$ está acotada utilizando el hecho de que $\lim_{n \to \infty} f(n) = -x < 0$ por lo que existe un $N$ de forma que $n>N \notin A$ . ¿Es esta la dirección correcta o lo estoy pensando demasiado?

Answer 1

Pista: ¿Puede demostrar que para todos $y\geq 1$ hay un $n\in\mathbb N$ con $n\leq y\leq n+1$ ?

Answer 2

¿Qué pasa con $n=\mathrm{floor}(\frac{1}{x})$ ?

Answer 3

Puede obtenerlo directamente de Propiedad arquimediana de los números reales que existe algún $n$ tal que $x \leq \frac 1 n$ . En particular, supongamos que $n$ es el número natural que da el $\frac 1 n$ a $x$ es decir, que no hay $m \in \Bbb N$ tal que $x \leq \frac 1 m < \frac 1n$ . (Debe existir un "más cercano $n$ -- supongamos que sólo hay una $n$ entonces es eso. Supongamos que hay varios -- entonces uno de ellos será el más cercano porque los números reales están bien ordenados).

Entonces podemos obtener la conclusión que queremos por contradicción. Tomemos $\frac 1 {n+1}$ . Es evidente que $\frac 1 {n+1} < \frac 1 n$ . Supongamos $x \leq \frac 1 {n+1} < \frac 1 n$ . Eso es imposible, porque suponíamos que $n$ era el más cercano, arriba. Entonces debemos tener que $\frac 1 {n+1} \leq x \leq \frac 1 n$ .

Answer 4

Set :

$$X:=\{n\in\mathbb{N}^*| \frac{1}{n}\geq x\} $$

Este conjunto es no vacío porque $1\in X$ . Además, está claro que si $n\in X$ entonces cualquier $l\leq n$ estará en $X$ también : $l\in X$ . Queremos demostrar que $X$ está acotada por encima. Por lo tanto (debido a lo que he escrito antes) si encontramos $a>0$ tal que $a\notin X$ entonces $X$ está limitada por encima por $a$ .

Ahora demostraremos que existe un número entero $a$ tal que $a\notin X$ es decir:

$$x>\frac{1}{a}\Leftrightarrow a>\frac{1}{x} $$

Y esta es la propiedad arquimédica de $\mathbb{R}$ que nos permite hacer esto (uno de los axiomas fundamentales de $\mathbb{R}$ ). Por lo tanto $X$ está acotado por encima, y como conjunto no vacío de números enteros debe tener un máximo $n$ . El máximo de $X$ verifica claramente (porque $n+1\notin X$ ) :

$$\frac{1}{n+1}<x\leq \frac{1}{n} $$