¿Una transformación afín de una variable aleatoria simétrica es también simétrica?

Question

Si la variable aleatoria X tiene una función de distribución de probabilidad que es simétrica en torno a la media, ¿tiene la variable aleatoria Y=a+bX una distribución de probabilidad simétrica?

Además, ¿cuál es la covarianza y la correlación entre X e Y?

Gracias.

Answer 1

Por la fórmula de cambio de variables, el pdf de $Y$ viene dada por $$f_Y(y) = f_X\left(T^{-1}(y)\right)\left\vert \frac{\mathrm d}{\mathrm dy}T^{-1}(y)\right\vert,$$ donde $T(x) = a + bx$ . Así, $T^{-1}(y) = \frac{y - a}{b}$ y $\frac{\mathrm d}{\mathrm dy}T^{-1}(y) = \frac 1b$ . Así que tenemos que $$f_Y(y) = f_X\left(\frac {y-a}b\right)\frac{1}{\vert b\vert}.$$ Sea $\mu$ y $\nu$ denotan las medias de $X$ y $Y$ respectivamente. Obsérvese que $\nu = a + b\mu$ . Ahora bien, ¿es cierto que $f_Y(\nu + y) = f_Y(\nu - y)$ para todos $y\in\mathbb R$ ?

Sostiene que $$f_Y(\nu + y) = \frac{1}{\vert b\vert}f_X\left(\frac{\nu + y - a}{b}\right) = \frac{1}{\vert b\vert}f_X\left(\frac{a+b\mu - y -a}{b}\right) = \frac{1}{\vert b\vert}f_X\left(\mu - \frac yb\right)$$ y $$f_Y(\nu - y) = \frac{1}{\vert b\vert}f_X\left(\frac{\nu - y - a}{b}\right) = \frac{1}{\vert b\vert}f_X\left(\frac{a+b\mu - y -a}{b}\right) = \frac{1}{\vert b\vert}f_X\left(\mu + \frac yb\right).$$ Por cada $y\in\mathbb R$ , dejemos que $x = \frac yb$ . Entonces, como por suposición $f_X(\mu + x) = f_X(\mu-x)$ para todos $x\in\mathbb R$ tenemos que la distribución de $Y$ es simétrica.

Sea $\sigma^2$ denotan la varianza de $X$ . Entonces $b^2\sigma^2$ es la varianza de $Y$ . La covarianza entre $X$ y $Y$ viene dado por $b\sigma^2$ lo que puede comprobarse fácilmente aplicando las leyes habituales de la varianza y la covarianza. Así pues, la correlación entre $X$ y $Y$ viene dada por $$\frac{b\sigma^2}{\sqrt{\sigma^2 b^2\sigma^2}} = \pm 1.$$ Tenga en cuenta que $X$ y $Y$ son combinaciones lineales perfectas, ya está claro que ambas variables están perfectamente correlacionadas.

Answer 2

La respuesta de @Imaosome ya es buena, pero me gustaría complementar la primera parte y aportar una respuesta que no se base en la fórmula del cambio de variables.

Decimos que $X$ es simétrica en torno a $\mu$ si $\mathbb{P}(X < \mu - x ) = 1 - \mathbb{P}(X > \mu + x ), \, \forall x \in \, \mathbb{R}$ . Observe que $X$ puede no tener una función de densidad, por ejemplo, puede ser discreta. Si la densidad existe, equivale a $f_X(\mu - x) = f_X(\mu + x), \, \forall x \in \, \mathbb{R}$ .

Supongamos que $X$ es simétrica en torno a $\mu$ y que $Y = a + bX$ . Demostraremos que $Y$ es simétrica en torno a $\gamma = a+b\mu$ .

\begin{align} \mathbb{P}(Y < \gamma - z) &= \mathbb{P}(Y < a + b\mu - z)\\ &= \mathbb{P}(a+bX < a + b\mu - z) \\ &= \mathbb{P}(X < \mu - z/b) \\ &= 1 - \mathbb{P}(X > \mu + z/b) \quad\textbf{(X symmetry)}\\ &= 1 - \mathbb{P}(Y > a + b\mu + z) \\ &= 1 - \mathbb{P}(Y > \gamma + z), \end{align}

demostrando el resultado. Obsérvese que $\mu$ no tiene que ser necesariamente $E[X]$ . De hecho, $E[X]$ podría ni siquiera existir, y el resultado sigue siendo válido.