¿Cómo definir la distancia entre dos funciones en un espacio no lineal (ejemplo de espacio no lineal: espacio de formas)?

Question

Supongamos que tengo dos círculos paramétricos $f_1=(acost,asint)$ y $f_2=(bcos t,bsint)$ , $t\in(0,2\pi),a>0,b>0$ que se encuentra en un espacio no lineal. ¿Hay alguna manera de definir la distancia entre estas dos funciones?
Estoy pensando en definir una función $f=f_1-f_2$ (diferencia por componentes), y tomará norma = $(\int_0^{2\pi}|f_1(t)-f_2(t)|^2 dt)^\frac{1}{2}$ como la distancia entre las dos funciones anteriores. ¿Hay algún fallo? Por favor, sugiera.

Answer 1

Se trata de una definición de distancia perfectamente válida, entre dos funciones vectoriales definidas sobre el mismo dominio.

Si desea medir la distancia entre dos curvas (formas), puede que no sea una buena elección, ya que dependerá de la parametrización de las curvas. Puede considerar la Distancia de Hausdorff en su lugar.

NB: se podría intentar que la primera aproximación fuera independiente de la parametrización utilizando la ecuación intrínseca basada en la longitud del arco, pero para curvas cerradas eso sigue haciéndola dependiente de los puntos de partida.

Answer 2

Le site $L^p$ ( $1\le p<\infty$ ) distancia: $$\left(\int_0^{2\pi}|f_1(t)-f_2(t)|^p dt\right)^\frac{1}{p}$$ En $\sup$ o $L^\infty$ distancia: $$\sup_{t\in[0,2\pi]}|f_1(t)-f_2(t)|$$ Lo "raro" $L^p$ ( $0<p<1$ ) distancia: $$\int_0^{2\pi}|f_1(t)-f_2(t)|^p dt$$ Dependiendo del espacio (conjunto de funciones) considerado, estas distancias tendrán buenas o malas propiedades. La dirección $\sup$ distange es bueno si quieres funciones continuas.