Pregunta para un límite al infinito

Question

$$\lim_{b\to } \left[\ln b - \frac 1 2 \ln(b^2+1) - \frac 1 2 \arctan(b)\right] $$

Sólo estoy un poco confundido, estaba tratando de resolver esta integral https://www.symbolab.com/solver/definite-integral-calculator/%5Cint_%7B2%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%20%5Cfrac%7Barctanx%7D%7Bx%5E%7B2%7D%7Ddx

Y dice que el límite de la función dada es $0,$ cuando creo que debería ser $-/4$ . Siento hacer esta pregunta ingenua, pero ¿podría alguien ayudarme con esto?

Answer 1

\begin{align} \ln b - \frac 1 2 \ln(b^2+1) = \ln \frac b {\sqrt{b^2+1}} = \ln \frac 1 {\sqrt{1 + \frac 1 {b^2}}} \longrightarrow \ln \frac 1 {\sqrt{1+0}} = \ln 1 = 0 \\[8pt] \text{as } b\to \infty. \end{align}

Y también $$ \arctan b \longrightarrow \frac \pi 2. $$

Así que tienes que recordar las identidades de los logaritmos y las propiedades de las funciones trigonométricas.

Y ahora mirando la integral en lugar del límite que tenías en tu post, vemos que en realidad necesitabas $$ \frac{\arctan b} b \to 0 \text{ as } b \to \infty \quad \text{since } \arctan\to\frac\pi 2. $$

Answer 2

Sugerencia . Se puede escribir, como $b \to \infty$ , $$ \arctan b=\frac \pi2- \arctan \frac 1b $$ y $$ \frac 1 2 \ln(b^2+1)=\frac 1 2 \ln\left[b^2\cdot \left(1+\frac 1{b^2}\right)\right]=\ln b+\frac 1 2 \ln\left(1+\frac 1{b^2}\right). $$ ¿Puedes seguir desde aquí?