He hecho muchos problemas antes, pero estoy tratando de obtener una definición realmente básica del núcleo para poder aplicarla a cualquier posible pregunta que se me presente.
¿Estaría en lo cierto si dijera que el núcleo (de un homomorfismo) es básicamente por lo que puedo multiplicar cualquier función dada para obtener la identidad?
Sí, más o menos. El kernel de un homomorfismo de grupo $\phi:G\to H$ se define como $$ \ker\phi=\{g\in G:\phi(g)=e_H\} $$ Eso es, $g\in\ker\phi$ si y sólo si $\phi(g)=e_H$ donde $e_H$ es la identidad de $H$ .
Es algo engañoso referirse a $\phi(g)$ como "multiplicar $\phi$ por $g$ ". Más bien, utilizamos el lenguaje "aplicando $\phi$ a $g$ " para enfatizar que $\phi$ es un función entre grupos no es un elemento de uno de los grupos en cuestión.
Ejemplo. Tenga en cuenta que $\Bbb Z$ et $\Bbb Z^2$ son grupos bajo adición. Además, las identidades son $e_{\Bbb Z}=0$ et $e_{\Bbb Z^2}=(0,0)$ .
Dejemos que $\phi:\Bbb Z^2\to\Bbb Z$ sea el homomorfismo de grupo definido por $\phi(a,b)=a+b$ . Entonces $(a,b)\in \ker\phi$ si y sólo si $\phi(a,b)=0$ . Es decir, $(a,b)\in\ker\phi$ si y sólo si $a+b=0$ . Por lo tanto, $(a,b)\in\ker\phi$ si y sólo si $b=-a$ .
Esto demuestra que $\ker\phi=\{(a,-a):a\in\Bbb Z\}$ .
Como se señala en los comentarios, los núcleos surgen en muchos otros contextos. Si te interesa, consulta la sección de "matemáticas" del entrada de wikipedia para kernel .
Si te sientes más ambicioso, podrías aprender teoría de categorías y ver cómo el núcleo de un homomorfismo de grupo es un caso especial de un ecualizador .
Creo que deberías escribir también la definición del núcleo de un homomorfismo de anillo. A veces puede resultar confuso para algunas personas si el núcleo es la preimagen de la identidad multiplicativa o de la identidad aditiva.
@user46944 ¿Qué tal si cambio $1_G$ et $1_H$ a $e_G$ et $e_H$ . Parece inútil cambiar la definición a homomorfismo de anillo ya que el OP etiquetó la pregunta con "teoría de grupos".
Independientemente de la etiqueta, la pregunta es qué es un núcleo. En este caso, no haría falta mucho más trabajo para explicar que los homomorfismos de anillo también tienen núcleos, que son las cosas mapeadas a $0$ la identidad aditiva. Como la persona que responde a la pregunta, normalmente tiene más conocimientos que la persona que hace la pregunta, y en mi opinión debería completar esos detalles relevantes.
Para el OP: las otras respuestas te han dado sólo la definición del núcleo de un homomorfismo de grupo, probablemente porque has etiquetado esta pregunta con la teoría de grupos.
Si estás familiarizado con la teoría de anillos (si no, lo estarás pronto), podemos tener un homomorfismo de un anillo $R$ a un anillo $S$ . Pero un anillo tiene tanto una identidad aditiva, normalmente denotada $0$ y una identidad multiplicativa, normalmente denotada $1$ . En este caso especial, el núcleo del homomorfismo se define como la materia en $R$ que se asigna a $0$ .
Además, si alguna vez has tomado un curso de álgebra lineal, y conoces las transformaciones lineales entre espacios vectoriales, el núcleo de una transformación lineal es la materia en el dominio que se mapea al $0$ vector en el codominio.
Dado que un anillo es un grupo para empezar (al igual que un espacio vectorial y un módulo) los homomorfismos de anillos (y espacios vectoriales y módulos) son primero homomorfismos de los grupos subyacentes y sus núcleos son los núcleos de esos homomorfismos. Así que, en mi opinión, es contraproducente y potencialmente confuso hablar de los homomorfismos de estas estructuras como un caso especial. (Y, por supuesto, a algunas personas les gusta trabajar con anillos que no tienen identidad multiplicativa).
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Lo primero es que tu declaración sea gramaticalmente correcta. No tiene sentido hablar de "un núcleo" de forma aislada, debe ser "el núcleo de un homomorfismo de grupo".
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@David sí, me meto en muchos problemas con temas de notación pero lo que habéis dicho los dos es lo que quería decir. Estoy intentando una comprensión más clara de las cosas para poder acertar más a menudo. Gracias
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Sólo para aclarar: te gustaría la definición de "el núcleo de un homomorfismo de grupo", ¿correcto?