¿Puede el número de soluciones $xy(x-y-1)=n$ para $x,y,n \in Z$ ser ilimitado al variar n?

Question

¿Puede el número de soluciones $xy(x-y-1)=n$ para $x,y,n \in Z$ ser ilimitado al variar n?

x,y son puntos integrales en una Curva Elíptica y son fáciles de encontrar usando la enumeración de divisores de n (asumiendo que n puede ser factorizado).

En caso afirmativo, ¿dará un gran número de soluciones un rango moderado EC?

Si uno cae $-1$ es decir $xy(x-y)=n$ el número de soluciones puede ser ilimitado mediante múltiplos de punto(s) racional(es) y luego multiplicando por un cubo. (Explicación): Otro caso no limitado para variar $a , n$ es $xy(x-y-a)=n$ . Si $(x,y)$ está en la curva, entonces $(d x,d y)$ está en $xy(x-y-a d)=n d^3$ . Encuentra muchos puntos racionales y multiplícalos por un $d$ . No utilizar la ley de grupos me parece bastante complicado. La constante $-1$ se incluyó a propósito en el post inicial.

Me interesaría este experimento computacional: encontrar $n$ que da muchas soluciones, digamos $100$ (no puedo hacerlo), comprueba qué puntos son linealmente independientes y esto es un límite inferior del rango.

Lo que me intriga es que todos los puntos integrales en este modelo provienen únicamente de la factorización/divisores.

El récord actual es n= 179071200 con 22 soluciones con x,y positivas. Gracias a Matthew Conroy.

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El récord actual es n= 391287046550400 con 26 soluciones con x,y positivas. Debido a Aaron Meyerowitz

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El récord actual es n= 8659883232000 con 28 soluciones con x,y positivas. Encontrado por Tapio Rajala.

El récord actual es n= 2597882099904000 con 36 soluciones con x,y positivas. Encontrado por Tapio Rajala.

EDITAR: $ab(a+b+9)=195643523275200$ tiene 48 puntos enteros positivos. - Aaron Meyerowitz ( nota esta es una curva diferente y 7 <= rango <= 13 )

Una variación: $(x^2-x-17)^2 - y^2 = n$ parece ser elegible para la misma pregunta. El modelo cuártico es una diferencia de dos cuadrados y comprobar si el primer cuadrado es de la forma $x^2-x-17$ es fácil.

¿Es posible alguna relación en los primos o primos o divisores de cierta forma para producir registros: Alguien está intentando en $\mathbb{Z}[t]$ ¿Puede el número de soluciones xy(xy1)=n para x,y,nZ[t] ser ilimitado al variar n? ? Leí un artículo que no entendí muy bien sobre maximizar el rango Selmer eligiendo cuidadosamente los primos.

EDIT: La curva se eligió al azar sólo para ofrecer un reto computacional claro.

EDIT: Pensándolo bien, ¿puede funcionar un enfoque simbólico? Establecer $n=d_1 d_2 ... d_k$ donde d_i son variables. Elige, bueno, "unas 100" ( $d_i$ , $y_i$ ) para ( $x$ , $y$ ) (o un producto de $d_i$ para $x$ ). El resultado es un sistema no lineal (la última vez que lo intenté no conseguí que funcionara en la práctica).

EDIT: Related search seems ecuación "thue mahler"

Relacionado: ¿la ilimitación del número de puntos integrales en curvas elípticas?

Publicado en MATH.SE: https://math.stackexchange.com/questions/14932/can-the-number-of-solutions-xyx-y-1-n-for-x-y-n-in-z-be-unbounded-as-n

Answer 1

Con la transformación $X = -n/x$ y $Y= ny/x$ la curva se hace isomorfa al modelo de Weierstrass $$ E_n\colon \ \ Y^2 - X\ Y - n\ Y = X^3.$$ Los puntos en cuestión son exactamente los puntos integrales en $E_n(\mathbb{Q})$ tal que $X$ divide $n$ . No veo por qué el número de estos puntos debería estar acotado independientemente de $n$ Así que creo que no hay límite y que va a ser difícil demostrarlo.

La curva $E_n$ tiene siempre dos puntos racionales de 3 torsión $(0,0)$ y $(0,n)$ . A menos que $n$ es de la forma $k\cdot (\tfrac{k-1}{2})^2$ para algún número entero $k\not\equiv 2\pmod{4}$ estos son todos los puntos de torsión en $E_n(\mathbb{Q})$ de lo contrario hay 6 puntos de torsión definidos sobre $\mathbb{Q}$ . Por lo tanto, si $n$ no es de la forma anterior, entonces cualquier punto integral con $X$ dividiendo $n$ será de orden infinito y, por tanto, el rango será al menos $1$ .

(Edit:) Ahora, tengo una razón para creer que el número es limitado. Como señala Felipe Voloch en esta pregunta El papel por Abramovich lo demuestra:

si se cumple la conjetura de Lang y Vojta sobre puntos racionales en variedades de tipo general, entonces el número de soluciones está acotado como $n$ varía.

Basta con observar que la ecuación $E_n$ es de hecho mínima y que la curva $E_n$ es semiestable para todo $n$ . Para todos los primos $p$ dividiendo $n$ la curva tiene una reducción multiplicativa dividida con $3\cdot \text{ord}_p(n)$ componentes. Para todos los primos $p$ dividiendo $27n+1$ se puede demostrar que la reducción también es multiplicativa.

Tal vez un descenso a través de la tres-isogenia podría ayudar a dar un límite superior en el rango.

Answer 2

Aunque no se trata de una respuesta matemática, pondré los resultados de mi búsqueda por fuerza bruta como respuesta a la petición de jerr18. No llegué a ninguna parte con la parte de pensar.

Código

Puedes encontrar el código C (no óptimo) que escribí en mis páginas web . La mayor limitación del programa es que utiliza enteros de 64 bits. Siéntase libre de ejecutar, probar, ajustar y/o mutilar el código como desee.

El programa construye primero $n$ con una recursión y luego $y$ con una recursión (de esta forma evito considerar valores de $y$ que no dividen $n$ ). Por último, comprueba si la solución positiva $x$ a la ecuación $$xy(x-y-1) = n$$ es un número entero.

Resultados

He aquí algunos valores encontrados utilizando este programa (en unas 4 horas).

36 soluciones positivas

$$n = 2597882099904000 = 2^9 · 3^3 · 5^3 · 7 · 13 · 17 · 23 · 29 · 31 · 47$$

30 soluciones positivas

$$ n = 34747990981704000 = 2^6 · 3^4 · 5^3 · 7^2 · 11 · 13 · 17 · 19^2 · 29 · 43 $$

28 soluciones positivas

$$n = 105140926800 = 2^4 · 3^3 · 5^2 · 7^2 · 13 · 17 · 29 · 31 $$ $$n = 8659883232000 = 2^8 · 3^3 · 5^3 · 7 · 11 · 13 · 17 · 19 · 31 $$ $$n = 3783439308448800 = 2^5 · 3^4 · 5^2 · 7^3 · 11 · 13 · 19 · 31 · 43 · 47$$ $$n = 9928464968822400 = 2^7 · 3^4 · 5^2 · 7^2 · 11^2 · 13 · 17 · 23 · 31 · 41$$ $$n = 18680310941292000 = 2^5 · 3^4 · 5^3 · 7 · 11^2 · 13^2 · 17 · 19 · 29 · 43$$ $$n = 88550619849291600 = 2^4 · 3^5 · 5^2 · 7^2 · 11^2 · 13 · 17 · 19 · 23 · 37 · 43$$

Tenga en cuenta que no comprobé los resultados después de que mi programa me los entregara...

Edita: Sólo por curiosidad he probado también con $+1$ en lugar de $-1$ . Por ejemplo, la ecuación $$ xy(x-y+1) = 388778796252000 = 2^5 · 3^3 · 5^3 · 7^2 · 11 · 17 · 19 · 23 · 29 · 31$$ tiene 38 soluciones positivas.

Answer 3

$n=938995200$ también tiene $22$ soluciones. Sería mejor poner $a=y$ y $b=x-y-1$ así que $x=a+b+1$ y uno tiene $ab(a+b+1)=n$ . Para $n=391287046550400$ hay $26$ soluciones con $a,b>0$ que crece hasta $78$ si se admiten valores negativos y se reduce a $13$ si $[a,b]$ y $[b,a]$ se consideran iguales (y deben ser positivos).

Parece razonable que si se elige un número $n$ con "montones" de factores relativos al tamaño de $n$ entonces cualquiera de las curvas $ab(a+b+j)=n$ con una j "pequeña" tendría un buen número de puntos y al menos algunos de ellos tendrían un gran número de puntos (por lo que se podría empezar con $n$ y buscar lo más fructífero $j$ ). Eso se podría precisar más (al menos en lo que respecta a las expectativas), aunque quizá no lo haga yo.

más tarde Lo siguiente sonaba plausible pero no resulta funcionar tan bien

Esto sugiere buscar $n$ del números muy compuestos (más divisores que cualquier número más pequeño.) De hecho $391287046550400$ ¡está en esa lista! (Aunque yo no lo sabía cuando lo encontré) Sin embargo he intentado $n=106858629141264000$ de más abajo del lista más larga vinculado allí y sólo encontró dos puntos para $j=1$ . No miré otros $j$ .

Continúa en He encontrado $391287046550400$ buscando productos $ab(a+b+1)=n$ con todos los factores primos menores que 30 (y ningún primo mayor que 7 repetido en $n$ ), y buscando $n$ que aparecían con frecuencia. Entonces decidí mirar el hcn y encontré que $n$ en la lista. Sin embargo, parece que hasta $1.7 \, 10^{28}$ (que es algo así como el primer 260 tal ) la curva apropiada tiene 26 puntos positivos en ese caso, 14 en otro, y 12 y 10 sólo un puñado de veces.

Entre ellas $n$ la curva $ab(a+b-7)=481880599200$ tiene $28$ puntos enteros positivos y la curva $ab(a+b+9)=195643523275200$ tiene $48$ puntos enteros positivos pero esos son los únicos $ab(a+b+j)=n$ que mejor $ab(a+b+1)=391287046550400$ con un $n$ y $|j|<50$

incluso después ACTUALIZADO Consideremos estos cuatro números enteros

$$\begin{eqnarray} 2888071057872000=&&2^7\cdot 3^3\cdot 5^3\cdot 7\cdot 11\cdot 13\cdot 17\cdot 19\cdot 23\cdot 29\cdot 31\\ 8659883232000 =&&2^8\cdot 3^3\cdot 5^3\cdot 7\cdot 11\cdot 13\cdot 17\cdot 19\cdot 31\\ 32607253879200=&&2^{5}\cdot3^{3}\cdot\cdot5^{2}\cdot7^{2}\cdot11\cdot 13\cdot 17\cdot 19\cdot 23\cdot 29\\ 1248124550400=&&2^{8}\cdot 3^{3}\cdot 5^{2}\cdot 7^{2}\cdot 13\cdot 17\cdot 23\cdot 29 \end{eqnarray}$$

El primero tiene $32,768$ factores lo que lo convierte en un hcn ya que cada entero más pequeño tiene menos. El segundo es el excelente valor de $n$ encontrado por tapio que hace $ab(a+b+1)=n$ tienen 28 soluciones positivas. La tercera es también un hcn y la cuarta hace $ab(a+b-1)=n$ tienen 28 soluciones positivas (o si lo prefiere, $xy*(x-y+1)=n$ una ecuación que parece tan difícil como la elegida). Ahí es donde yo buscaría ejemplos similares, n un hcn quizá modificado poniendo o quitando un par de primos grandes y jugueteando con el exponente de los primos más pequeños. Los cálculos brutos no demostrarán nada, por supuesto.