Evaluación de $\int \sqrt{x^2 + 2x}dx$

Question

$$\int \sqrt{x^2 + 2x}dx$$

No tengo ni idea de qué hacer con este problema. Está en el capítulo de sustituciones trigonométricas, así que sé que tengo que usarlo de alguna manera. Sé que no puedo completar el cuadrado porque ambos términos son positivos y no me dará una diferencia de cuadrados.

Sé u subsitución no funcionará porque me sobran x términos.

Sé que básicamente tengo que manipular este problema algebraicamente antes de poder trabajar con él, pero no sé cómo hacerlo.

He intentado factorizar una x o -x pero ninguna de las dos cosas avanza.

Answer 1

Lo mismo que el anterior. Utilice $$ \int \sqrt{x^2 + 2x }\ \ dx = \int \sqrt{x^2 + 2x + 1 - 1}\ \ dx = \int \sqrt{(x + 1)^2 - 1}\ \ dx $$ y utilizar la pista $\sec \theta = x+1$ .

Answer 2

Ok. He aquí un método general para resolver integrales de la forma $P(x) = ax^{2}+bx+c$ .

\begin{align*} ax^{2}+bx+c &= a \cdot(x^{2}+\frac{b}{a} x) + c \\\ &= a \cdot \biggl(x^{2}+ \frac{b}{a} \cdot x +\frac{b^2}{4a^2}\biggr) + c - \frac{b^2}{4a} \\\ &= a \cdot \biggl(x+\frac{b}{2a}\biggr)^{2} + c-\frac{b^2}{4a} \end{align*}

Ahora después de hacer esto pon $\displaystyle x+\frac{b}{2a} = \frac{1}{\sqrt{a}} \cdot \sqrt{\biggl(c-\frac{b^2}{4a}\biggr)} \cdot \tan\theta$