Representación del coset ; $\{ Hg_i \} = \{ Hg_i^{-1} \}$

Question

Esta es mi simple curiosidad

Si $H$ es normal en $G$ entonces $H\setminus G$ es un grupo : $$ Ha \cdot Hb = H ab $$ Pero si $H$ no es normal, entonces el espacio coset $H\setminus G$ no es un grupo, pero suponemos que existe alguna propiedad que puede satisfacerse en un grupo.

Sea $H$ sea un subgrupo de un grupo finito $G$ . Entonces tenemos $H\setminus G = \{ Hg_i \}_{i=1}^m$ donde $g_i$ es representativo y $m=[G:H]$ . Aquí

Pregunta : $$ \{ Hg_i \}_{i=1}^m = \{ Hg_i^{-1} \}_{i=1}^m$$

Eso es, $Hg_i=Hg_j^{-1}$ para algunos $j$ . ¿Esto es cierto?

Si no es así, $Hg_i^{-1}=Hg_j^{-1}$ para algunos $i\neq j$ para que $g_i^{-1} g_j\in H$ . No puedo probarlo ni refutarlo.

Caso específico : $$G=N\times_\phi H,\ N=\langle a\rangle={\bf Z}_p,\ H=\langle b \rangle={\bf Z}_q\subset {\rm Aut}\ (N)\ (q|(p-1))$$ donde $p$ y $q$ son primos.

Entonces existe $x\in G$ s.t. $H'=\langle x\rangle $ tiene orden $q$ y $ H'\setminus G = \{ H'c^k \}_{k=0}^{p-1}$ donde $c\in G$ tiene orden $p$ . En este caso se cumple la igualdad anterior.

Answer 1

No todos los derechos transversales a $H$ en $G$ tiene esa propiedad, pero siempre es posible elegir una transversal derecha concreta con esta propiedad. Hay un teorema de P. Hall que afirma que siempre que $H$ es un subgrupo de un grupo finito $G,$ existe una transversal derecha $T$ a $H$ en $G$ que también es una transversal izquierda. Es decir, si $T = \{t_{i}: 1 \leq i \leq n \},$ donde $n = [G:H],$ entonces tenemos $G = \bigcup_{i=1}^{n} Ht_{i}$ y $G = \bigcup_{i=1}^{n}t_{i}H$ . Entonces para $i \neq j,$ tenemos $t_{i}t_{j}^{-1} \not \in H$ y $t_{i}^{-1}t_{j} \not \in H.$ La segunda condición nos dice que los cosets derechos $Ht_{i}^{-1}$ y $Ht_{j}^{-1}$ son distintos. Por lo tanto, tenemos la igualdad solicitada en la pregunta para esta transversal en particular.

He aquí un contraejemplo explícito a la disjunción necesaria para una transversal general. Tomemos $G = S_{4}$ y $H$ sea el estabilizador de $4$ en $G,$ que es la copia natural de $S_{3}$ en $G.$ Obsérvese que los cosets $H(134)$ y $H(234)$ son distintos, porque $(134)(432) = (412) \not \in H.$ Sin embargo, los cosets $H(431)$ y $H(432)$ son iguales, porque $(431)(234) = (123) \in H.$

Answer 2

Si $G=S_3$ y $H=\{1,(12)\}$ toma $g=(123)$ así que $g^{-1}=(132).$

Entonces $Hg=\{(123),(13)\}$ mientras que $Hg^{-1}=\{(132),(23)\}.$

[nota multiplicada de izquierda a derecha aquí.]

Añadido: Si el número de cosets es finito $m$ entonces su lista de cosets $Hg_i$ para $1 \le i \le m$ es igual al número de cosets $Hg_i^{-1}$ . Estos últimos también son cosets, y son disjuntos por pares por el hecho de que el $Hg_i$ son disjuntos. Por tanto, ambas listas de cosets son listas completas de los cosets de $H$ en $G$ . Por ejemplo, consideremos un coset fijo $Hg_j^{-1}.$ Entonces $g_j^{-1}$ debe estar en uno de los cosets $Hg_i$ y para ello $i$ tenemos $Hg_i=Hg_j^{-1}.$

Obsérvese que lo que sigue no demuestra la disjunción de los cosets con representantes tomados como los inversos. La cuestión sigue abierta.

Un comentario preguntaba por qué el $Hg_i^{-1}$ son disjuntos. Supongamos que $Hg_1^{-1}=Hg_2^{-1}.$ Multiplicar por $g_1$ a la derecha da $H=Hg_2^{-1}g_1,$ para que $g_2^{-1}g_1\in H$ . Pero entonces $g_1,g_2$ están en el mismo coset de $H$ es decir $Hg_1=Hg_2,$ contra la elección de los coset reps para los cosets $Hg_i.$