Geometrías de los complementos de los nudos

Question

Tengo dos preguntas diferentes, pero relacionadas, sobre el tipo de geometría que se puede obtener en un complemento de nudo.

Rápidamente algunas anotaciones: $K$ será un nudo liso no trivial - que vive en $S^3$ - y $M$ será el complemento de una vecindad regular de $K$ .

PREGUNTA 1

¿Cómo puede $M$ admiten una geometría hiperbólica (es decir, ¿cómo pueden existir nudos hiperbólicos)? $\pi_1(M)$ contendrá un $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$ subgrupo (procedente de la frontera de ese vecindario regular), y así $\pi_1(M)$ no puede ser un grupo hiperbólico.

Lo más probable es que esté confundiendo detalles sobre estructuras hiperbólicas y tener un grupo fundamental hiperbólico.

PREGUNTA 2

Esta vez deja que $K$ sea el nudo trébol. Una fuente fiable (que casi seguro sabe de lo que habla) me dijo, en este caso, $M$ admite una $\widetilde{SL(2,\mathbb{R})}$ geometría. [No entiendo todos los detalles de cómo lo explicó, pero creo que se reducía a ver $M$ como $SL(2,\mathbb{R})$ cociente de la acción del grupo discreto $SL(2,\mathbb{Z})$ ].

Pero, ¡espera! En este caso es bien sabido que $\pi_1(M)\cong B_3$ el grupo de trenzas en $3$ hebras. Y $B_3$ tiene un subgrupo de índice $6$ que se parece a $\mathbb{Z}\times F_2$ donde $F_2$ es el grupo libre en $2$ generadores. Este subgrupo corresponde a un espacio de cobertura de seis hojas $\hat{M}$ También tenemos $\hat{M}\sim N\times S^1$ con $N$ una superficie compacta y $\pi_1(N)\cong F_2$ . Esto significa $\hat{M}$ tiene un $\mathbb{H}^2\times\mathbb{R}$ geometría, y así $M$ debe también. [De hecho, las ideas subyacentes aquí funcionan para cualquier nudo toroide].

¿Qué ha fallado exactamente?

Answer 1

Para tu primera pregunta, es cierto que los grupos fundamentales de las variedades hiperbólicas cerradas no pueden contener copias de $\mathbb{Z}^2$ . Sin embargo, ¡un complemento de nudo no es un colector cerrado! La estructura hiperbólica en el complemento de nudo será una variedad hiperbólica completa con volumen finito, pero con una cúspide. El grupo fundamental de la cúspide es $\mathbb{Z}^2$ .

Answer 2

Un comentario sobre tu segunda pregunta, que es un poco tediosa de encajar en una caja de comentarios:

El cociente $SL_2(\mathbb R)/SO(2)$ es isomorfo a $H^2$ y así $SL_2(\mathbb R)$ es una fibración circular sobre $H^2$ . De hecho, si nos olvidamos de la estructura del grupo, existe un difeomorfismo $SL_2(\mathbb R) \cong H^2 \times SO(2).$ Así, como un colector, $\widetilde{SL_2(\mathbb R)} \cong \mathbb R \times H^2$ .

Answer 3

La estructura hiperbólica en el complemento de un nudo trébol se explica en la obra de Milnor Introducción a la teoría K algebraica . Atribuye la prueba a Quillen.

Buscando el extracto del libro de Milnor en Internet, se encuentran algunos argumentos similares en una de las entradas de "esta semana..." de John Baez:

http://math.ucr.edu/home/baez/week233.html