¿mi pregunta es si $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ es uniformemente continuo, implica que $f^2$ es asi? y en general par o impar de esa función?
Respuestas
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sleske
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Por $f^2(x)$, ¿te refieres a $(f(x))^2$ o $f(f(x))$? (La notación $f^2(x)$ puede significar tanto de estos; que es estándar depende del área de las matemáticas que se trabaje.)
Si te refieres a $(f(x))^2$, entonces como en otras respuestas han señalado, esto no puede ser uniformemente continua.
Sin embargo, si te refieres a $f(f(x))$, entonces sí, este es uniformemente continua siempre que f es.
Prueba. Dado $\epsilon > 0$, necesitamos un poco de $\delta > 0$ de manera tal que cada vez que $|x - y| < \delta$, $|f(f(x)) - f(f(y))| < \epsilon$.
Sabemos, por el uniforme de la continuidad de la $f$ que se aplica a $\epsilon$, que hay algo de $\epsilon_1$ de manera tal que cada vez que $|x - y| < \epsilon_1$, $|f(x) - f(y)| < \epsilon$. Por el uniforme de la continuidad de la $f$ nuevo, aplicado a $\epsilon_1$, $\delta$ de manera tal que cada vez que $|x - y| < \delta$, $|f(x) - f(y)| < \epsilon_1$.
Para poner esto juntos, si $|x - y| < \delta$,$|f(x) - f(y)| < \epsilon_1$, y por lo $|f(f(x)) - f(f(y))| < \epsilon$; por lo $\delta$ es requerido. $\square$
Reto Meier
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Como se mencionó, esto no es cierto. Sin embargo, un enunciado es verdadero: Si $f$ es uniformemente continua y acotada, entonces $f^2$ es uniformemente continua (y limitado). (Sugerencia para probar esto: $|f(x)^2 - f(y)^2| = |f(x)+f(y)| |f(x)-f(y)|$). De hecho, si $f,g$ son tanto uniformemente continua y acotada, entonces es $fg$. Por lo tanto, cualquier producto finito de manera uniforme continuo delimitado funciones es otro ejemplo; en particular, si $f$ es, entonces, así es $f^n$ cualquier $n$.
Una versión de lujo de esta declaración es que el conjunto de $C_u(\mathbb{R})$ de todos uniformemente continuo delimitado funciones en $\mathbb{R}$ $C^*$-álgebra.
