Demostrar que la parte invariante $G^{\theta}$ es un grupo de Lie real.

Question

Sea $G$ sea un grupo Lie complejo conexo y simplemente conexo, con el álgebra de Lie $\mathfrak{g}$ y que $\mathfrak{k}\subset \mathfrak{g}$ sea una forma real de $\mathfrak{g}$ .

Definir el $\mathbb{R}$ -mapa lineal $\theta:\mathfrak{g}\rightarrow \mathfrak{g}$ por $\theta(x+iy)=x-iy,~~x,y\in \mathfrak{k}$ . Puedo demostrar que esto es un automorfismo y puede ser únicamente elevar a un automorfismo $\theta:G\rightarrow G$ . (Un poco abusar de las anotaciones.)

Sea $K=G^{\theta}$ . Demostrar que se trata de un grupo de Lie real con la algbera de Lie $\mathfrak{k}$ .

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Intento:

No puedo mostrar $K$ es un grupo y un submanifold embebido (trato de mostrar $K$ es un subgrupo de Lie de modo que $K$ es un grupo de Lie real). Y sólo puedo demostrar que $\mathfrak{k} \subset \mathsf{Lie}(K)$ .

Answer 1

Desde $\theta$ es un automorfismo de $G$ sus puntos fijos forman un subgrupo $K\subset G$ y puesto que $\theta$ es continua, $K$ es un subconjunto cerrado de $G$ . Ahora invoquemos el teorema de que un subgrupo cerrado de un grupo de Lie es un subgrupo de Lie. Esto contiene una descripción del álgebra de Lie de $K$ que le permite verificar que $\mathfrak k$ es el álgebra de Lie de $K$ .