Lemma de elevación tropical (Serie Puiseux)

Question

El resultado general en geometría tropical es $K$ campo valorado algebraicamente cerrado $I$ ideal de $K[x_1, \cdots, x_n]$ $V(I) = \lbrace \bar{a}\in K^n: f(\bar{a})=0 \text{ for all } f \in I \rbrace$ .

Sea $f \in K[x_1,\cdots,x_n]$ tal que $f(X) = \sum a_j X^j$ $j \in \mathbb{N}^n$ entonces $\operatorname{Trop}(f): \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ $X\mapsto \max\lbrace-v(a_j)+\langle X,j\rangle\rbrace$ donde $v$ es el mapa de valoración.

Una raíz de $\operatorname{Trop}(f)$ es una tupla $w$ tal que el máximo de $\lbrace -v(a_j) +\langle w, j \rangle \rbrace$ se alcanza al menos dos veces.

El teorema fundamental de la geometría tropical afirma que $v(V(I)) = \operatorname{Roots}(\operatorname{Trop}(I))$ (en realidad $\text{the topological closure of } v(V(I)) = \operatorname{Roots}(\operatorname{Trop}(I))$ o $v(V(I)) = \operatorname{Roots}(\operatorname{Trop}(I))\cap \mathbb{Q}^n$ en el caso del campo de Puiseux). Trivialmente $v(V(I)) \subseteq \operatorname{Roots}( \operatorname{Trop}(I))$ Sin embargo, lo contrario no es tan fácil de demostrar.

Mi pregunta es cómo demostrar lo contrario para $K$ el campo de la serie Puiseux. Quizás una aproximación a través del Lemma de Hensel.

Answer 1

Varias personas (entre ellas yo) han escrito pruebas defectuosas. El problema es que el grupo de valoración no es discreto. Esto facilita las cosas, en el sentido de que hay menos obstáculos que levantar en ese entorno, pero dificulta las cosas en el sentido de que no se pueden citar referencias estándar sobre anillos de valoración cuando se quiere. En concreto, por eso no se puede decir "Hensel" y ya está.

Creo que ahora se está de acuerdo en que la primera prueba totalmente correcta es Sam Payne . También veo que Sam tiene un preimpresión con Brian Osserman que parece relevante, pero aún no lo he leído.

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En cuanto a la pregunta sobre si el caso de $K=\bigcup \mathbb{C}((t^{1/n}))$ es más fácil que el caso general: La demostración del teorema para este caso especial consta de dos partes. La primera consiste en demostrar que $K$ es algebraicamente cerrado. Hay una buena exposición de esto en la Sección 1.12 de "Lectures on Resolution of Singularidades" de Kollar. De hecho, es más sencilla que las pruebas correspondientes en la característica $p$ caso.

La segunda parte consiste, más o menos, en demostrar que podemos elevar soluciones de la fibra especial a la fibra general. Se trata de un paso del tipo del lema de Hensel, en el que en un punto clave hay que utilizar que $K$ es algebraicamente cerrado. Esta es la parte que suele ser difícil de hacer correctamente.

Lo que preguntas es si el hecho de que sea más fácil demostrar $K$ es algebraicamente cerrado, en el caso que describes, facilita la demostración en su conjunto. No creo que sea una gran mejora, porque la parte técnica está en usar esa $K$ es algebraicamente cerrado, no demostrarlo. Pero si encuentras todas las partes difíciles, entonces simplificar esta parte podría darte una cosa menos en la que pensar.