Sea $F$ es un campo y $F[x]$ sea el anillo polinómico sobre $F$ . Ahora en la definición del gcd o lcm de dos polinomios cualesquiera $g(x)$ y $f(x)$ se menciona que el gcd o lcm son polinomios mónicos . Mi pregunta es por qué este " $monic$ " es importante. Si tenemos dos polinomios con coeficientes reales, digamos $\ \ $$ 5x^{2} $$\ \ $ y $\ $$ \ $ $ 25x $$\ \ $ entonces el lcm sería $\ \ $ $25x^{2}$$ \ \ $ and the gcd is $ \ \ $$5x$$ \ ninguna de las cuales es mónica. ¿Entonces? ¿O tengo el gcd, lcm mal?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
mrseaman
Puntos
161
Si $F$ es un campo, entonces, en $F[x]$ si $f$ divide $g$ entonces también $\alpha f$ para cualquier $\alpha \in F$ . Requerir que el gcd sea mónico lo hace único. En su ejemplo con $F = \mathbb{R}$ , $6x$ o $72x$ serían valores igual de buenos para $\gcd(5x^2, 25x)$ si no adoptáramos esta convención (no todos los autores lo hacen). Si el anillo de coeficientes no es un campo, entonces no se puede adoptar esta convención (y en ausencia de alguna otra convención el gcd no es único: sólo está determinado hasta la multiplicación por una unidad): en $\mathbb{Z}[x]$ su respuesta de $5x$ como a máximo común divisor de $5x^2$ y $25x$ es correcta y hay otra respuesta correcta, a saber $-5x$ . Observaciones similares se aplican al lcm.
