Supongamos que hay 3 objetos (O1, O2 y M) en una región del espacio con grandes variaciones en el tensor de tensiones de momento.
Todos ellos tienen 3 trayectorias diferentes a través de una variedad espaciotemporal muy poco homogénea, dada por O1( $\lambda$ ), O2( $\lambda$ ), M( $\lambda$ ).
Entiendo que el colector está definido por un conjunto de puntos definidos, de modo que, desde un punto de vista abstracto, O1, O2 y M definen trayectorias objetivas a través de este conjunto de puntos definidos. Pero, si queremos describirlas, tenemos que definir un atlas y elegir una carta (que especifique un origen). A continuación, se especificará un punto en el intervalo de la carta (4 números) a cada objeto.
Me parece lógico que la carta que elijas se base en el aparato de medición de algún observador. Así que O1 monta un aparato con 3 vectores espaciales ortogonales (digamos reglas que se colocan en lo que O1 percibe como ortogonales) y un reloj, que definen las coordenadas espaciales y una coordenada temporal. Las mediciones son entonces un conjunto de 4 números realizados en momentos diferentes: $$ (x_1,y_1,z_1,t_1)$$ $$ (x_2,y_2,z_2,t_2)$$ $$ (x_3,y_3,z_3,t_3)$$ $$ \dots $$ $$ (x_n,y_n,z_n,t_n)$$
Mi primera pregunta es: ¿Estos conjuntos de mediciones están todos en el mismo gráfico? No lo tengo claro, porque en cada momento, O1 puede haberse desplazado a un punto diferente (punto objetivo definido) en el colector espacio-tiempo y, por tanto, haber cambiado el origen del gráfico.
Supongo que hay una manera de definir un gráfico de tal manera que todas estas medidas están en el mismo, pero no sé cómo hacerlo. (?) Dado que su es, O1, tendrá un conjunto de medidas para O2 y M como un conjunto de puntos en el dominio de la carta de O1. O1 también tiene un conjunto de medidas de varios puntos (digamos los puntos extremos de las reglas ortogonales) del aparato de O2 (el mismo tipo de aparato que O1 está usando). O1 puede entonces construir 3 vectores (en su carta) que tienen alguna relación con los que definen la carta de O2.
Mi Segunda pregunta cómo predice O1 las mediciones que O2 hará de M, dado que ambos utilizan el mismo tipo de aparato y de reloj. O1 también conoce la estructura espacio-temporal y puede escribir una métrica y una conexión en el gráfico de O1.
Editar Para ser más específicos, O1 tiene dos vectores 4 que describen la trayectoria de O2 y M y la métrica en su sistema de coordenadas (el dominio del gráfico que describe el marco de referencia de O1): $$ \vec{x}_{O2} $$ $$ \vec{x}_{M} $$ $$ g_{i,j}(\vec{x}) $$
¿Cómo calcula O1 $ \vec{x}_{M}' $ en el sistema de coordenadas O2:
$$ \vec{x}_{M}'(\vec{x}_{O2},\vec{x}_{M},g_{i,j}(\vec{x}))$$
