Evaluación de la integral de línea $\int_c = 4x^2ds$ de $(-2,-1)$ a $(1,2)$

Question

Esto es lo que he hecho.

Sabemos que para resolverlo debemos evaluar $\int_c = f(x(t),y(t)\sqrt{(\frac{dx}{dt})^2}+(\frac{dy}{dt})^2dt$

Así que parametrizamos nuestros valores x e y.

$r_0 = (-2,-1)$ y $r_1 = (1,2)$

$r(t) = ((1-t) \times (-2,-1)) + (t(-1,2)$

$= x = -2+2t-t$ y $y = -1+t+2t$

Así que $\int_c = f(x(t),y(t)\sqrt{(\frac{dx}{dt})^2}+(\frac{dx}{dt})^2 = $$ \int_{0}{1} = f(4(-2+2t-t)\sqrt{(12x^2)^2}dt$

$=[4(-2+2t-t) \times (\sqrt{12x^2})^2]_01$

$=4[(-2+2(1)-1) \times (\sqrt{12(1)^2})^2 ] - 4[(-2+2(0)-0) \times (\sqrt{12(0)^2})^2 ]$

1. No sé en qué intervalo se evalúa la integral. ¿Sería simplemente entre 0 y 1? Como esto es lo que he hecho, pero no estoy seguro de si thats derecho.

2. ¿Es correcta mi parametrización? Sé que la fórmula es $(1-t) \times$ el punto de partida $+t \times$ el punto final. Pero también obtengo números y no estoy seguro de si los he clasificado bien para x e y.

Answer 1

Segmento de $(-2,-1)$ a $(1,2)$ tiene ecuaciones paramétricas

$C:(x=3 t-2,y=3 t-1), \;0\le t\le 1$

$ds=\sqrt{x'^2+y'^2}=\sqrt{9+9}\,dt=3\sqrt 2\,dt$

$$\int_C 4x^2\,ds=\int_0^1 4(3t-2)^2 \cdot 3\sqrt 2\,dt=12 \sqrt{2}$$