El tercer axioma en la definición de los haces vectoriales (de dimensión infinita): ¿por qué?

Question

Serge Lang Múltiples diferenciales y riemannianas es, sin duda, la mejor referencia disponible para la teoría de las variedades diferenciales no necesariamente finitas, pero desgraciadamente adolece del defecto de no contener ejercicios y sí pocos ejemplos. Esto hace que sea difícil aprender el tema a partir de este libro, especialmente si uno es, digamos, un estudiante de posgrado que también está todavía en el proceso de aprendizaje del análisis funcional.

Un lugar donde un ejemplo habría sido realmente útil es en el contexto de la definición de haz vectorial (pp. 40-41), que implica tres axiomas que Lang etiqueta VB1 - VB3. El tercero, VB3, establece que, en los solapamientos de coordenadas, el mapeo de los puntos del espacio base en los automorfismos de las fibras inducidos por los cambios de coordenadas debe ser un morfismo. Como señala Lang, este axioma es redundante en el caso de dimensión finita debido al siguiente resultado (p.42):

Proposición 1.1. Sea $\mathbf{E}$ , $\mathbf{F}$ sean espacios vectoriales de dimensión finita. Sea $U$ sea abierto en algún espacio de Banach. Sea $f: U \times \mathbf{E} \to \mathbf{F}$ sea un morfismo tal que para cada $x \in U$ el mapa $f_x : \mathbf{E} \to \mathbf{F}$ dada por $f_x(v) = f(x,v)$ es un mapa lineal. Entonces el mapa de $U$ en $L(\mathbf{E},\mathbf{F})$ dado por $x \mapsto f_x$ es un morfismo.

Sin embargo, este resultado es aparentemente falso en el caso de dimensión infinita. El problema es que Lang no proporciona un ejemplo que lo demuestre; y tampoco discute por qué la suavidad del mapa de $U$ en $L(\mathbf{E},\mathbf{F})$ (o, en el caso concreto que nos interesa, de $U_i \cap U_j$ en $Laut(\mathbf(E))$ es necesario o conveniente para cualquier propósito para el que se utilicen dichos haces infinito-dimensionales.

Así que si se me permite la pregunta: ¿cuál sería un contraejemplo a la proposición anterior en el caso de dimensión infinita? Más concretamente, ¿dónde se puede ir a buscar para tal contraejemplo? ¿Puedo tomar $U = \mathbf{F} = \mathbb{R}$ y $\mathbf{E} = \ell_2$ ? ¿Podemos hacer incluso continuidad fallan, es decir, ¿es necesario VB3 incluso para $C^0$ - ¿colectores? Sé que no podemos hacer $f$ bilineal ya que $L^2(\mathbf{E}, \mathbf{F}; \mathbf{G}) \cong L(\mathbf{E}, L(\mathbf{F},\mathbf{G}))$ -- pero esto es lo que hace que la pregunta me resulte misteriosa, porque tengo entendido que los "fallos de continuidad" en dimensiones infinitas surgen de la no convergencia de las secuencias (de modo que no se puede simplemente "escribir todo en una matriz y ver que las entradas son continuas/suaves"), en cuyo caso se debería poder exhibir el fenómeno en el caso más simple de mapas (bi)lineales; pero el isomorfismo antes mencionado bloquea esto. Entonces, ¿por qué aparece de repente una diferencia fundamental entre espacios de dimensión finita e infinita cuando pasamos de mapas lineales a no lineales? ¿Por qué el hecho de que $f$ es un morfismo de dos argumentos proporciona límites que obligarían a $x \mapsto f_x$ sea también un morfismo, como en el caso bilineal?

Además, ¿por qué no podemos "prescindir" del VB3 de Lang en el caso de las variedades de dimensión infinita?

Answer 1

Le remito a la observación B del suplemento 3.4A sobre Manifolds, Tensor Analysis and Applications de Abraham Marsden Ratiu. Espero que pueda ser útil, y así lo cito:

"El siguiente contraejemplo se debe a A.J. Tromba. Sea $h: [0, 1]\times L^2[0, 1]\rightarrow L^2[0, 1]$ viene dada por $h(x,\phi)=(h'(x))(\phi) =\int_0^1{\sin(\frac{2\pi}{x})\phi(t)} dt$ si $x\neq 0$ y $h(0,\phi)=0$ . Continuidad en cada $x\neq 0$ es evidente y en $x = 0$ se deduce por el lema de Riemann-Lebesgue (los coeficientes de Fourier de una sucesión uniformemente acotada en $L^2$ relativas a un conjunto ortonormal convergen a cero). Así, $h$ es $C^0$ . Sin embargo, dado que $h(x, \sin(\frac{2\pi t}{x}))=\frac{1}{2}-\frac{x}{4\pi}\sin(\frac{4\pi}{x})$ tenemos $h(\frac{1}{n},\sin(2\pi nt))=\frac{1}{2}$ y, por tanto, su $L^2$ -norma es $\frac{1}{\sqrt 2}$ esto dice que $\|h'(\frac{1}{n})\|\geq \frac{1}{\sqrt 2}$ y así $h'$ no es continua".

Answer 2

La razón principal para incluir la condición VB3 obviamente es hacer posible la obtención de varios haces tensoriales asociados a partir de un haz vectorial dado $\mathcal E\to M$ . El caso más sencillo probablemente sea la formación del haz dual $\mathcal E'\to M$ . Supongamos que nos dan un gráfico superpuesto $U=U_1\cap U_2$ en la múltiple base, y las correspondientes gráficas de haces vectoriales $\theta_i:W\to U\times E_i$ . Entonces tenemos $\theta_1\circ\theta_2^{-1}:U\times E_2\to U\times E_1$ dado por $(p,y)\mapsto(p,f(p)(y))$ donde $f:U\to\mathcal L_b(E_2,E_1)$ es un morfismo por VB3. Aquí $\mathcal L_b(E_2,E_1)$ denota el espacio de Banach(able) de mapas lineales continuos equipados con la topología de convergencia uniforme en conjuntos acotados. Sea $E_i'=\mathcal L_b(E_i,\mathbb R)$ entonces el correspondiente mapa de cambio de carta para el haz dual es $U\times E_1'\to U\times E_2'$ dada por $(p,u)\mapsto(p,u\circ(f(p)))$ . Debe ser un morfismo para que la construcción del haz dual tenga sentido. El esquema para demostrarlo consiste en descomponer el mapa como

$U\times E_1'\to U\times(\mathcal L_b(E_2,E_1)\times E_1')\to U\times E_2'$ por

$(p,u)\mapsto(p,(f(p),u))=(p,(v,u))\mapsto(p,u\circ v)=(p,{\rm{comp}}(v,u))$ .

Aquí ${\rm{comp}}:\mathcal L_b(E_2,E_1)\times E_1'\to E_2'$ es un mapa bilineal continuo, por tanto suave, y por tanto un morfismo. Puesto que también todos los demás mapas que se producen son morfismos, también lo es el compuesto, y la construcción del haz dual tiene éxito al menos en la parte de conseguir que el cambio gráfico sea un morfismo en la categoría apropiada.

Para obtener la condición VB3 también para el atlas del haz dual, es necesario saber que el mapa $\mathcal L_b(E_2,E_1)\to\mathcal L_b(E_1',E_2')$ dado por $u\mapsto\langle z\mapsto z\circ u\rangle$ es suave. Como se trata de un mapa lineal continuo, es suave.

Creo que tengo en algún lugar de mis archivos un ejemplo no publicado en el que para cada número natural distinto de cero $k$ hay un $C^k$ -mapa $\mathbb R\times c_0\to\mathbb R\times c_0$ de la forma $(t,x)\mapsto(t,f(t)(x))$ con $f(t):c_0\to c_0$ un mapa lineal continuo y $f:\mathbb R\to\mathcal L_b(c_0,c_0)$ no un $C^k$ -map, pero no he tenido tiempo de comprobarlo.

Answer 3

En realidad, la cuestión de fondo es la de la ESTRUCTURA (algebraica, diferencial) que permites sobre el grupo de isomorfismos de las fibras. Como sin duda sabes, para un haz vectorial E de rango n, existe un haz principal (canónico) GL(E) con fibras el grupo lineal GL_n. Este grupo de Lie es analítico, y con muy pocas topologías posibles (hasta equivalencias), mientras que los grupos de Lie de dimensión infinita tienen muchas patologías (este es un tema de investigación actual). Los haces vienen DESPUÉS de los grupos de Lie en la construcción, así que...

Pues eso, el libro de Lang es quizás muy bueno (si tú lo dices...) pero no suficientemente actualizado y debería decir muy formal. Pruebe con referencias más recientes, por ejemplo Kriegl, Michor, "the convenient setting for global analysis" (1997) para convencerse de ello. No digo que sea LA referencia, pero es una referencia seria para tener un punto de vista riguroso de UN enfoque actual del tema.