Orden de $C_{S_n}((12)(34)) \; \forall n\geq 4$ y sus elementos?

Question

¿Cuál es el orden de $C_{S_n}((12)(34)) \; \forall n\geq 4$ . Determine los elementos de este centralizador explícitamente

Desde $(12)(34)$ es una clase de conjugación en $S_n \; \forall n\geq 4$ denotemos esta clase como $K$

Entonces tenemos $$|K| = \frac{|S_n|}{|C_{S_n}((12)(34))|}=\frac{(C^{n}_{2}\cdot\frac{2!}{2})(C^{n-2}_{2}\cdot\frac{2!}{2})}{2!} = \frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{8}$$

$$\Rightarrow |C_{S_n}((12)(34))|=8\cdot(n-4)!$$

Pero, ¿cómo determinar explícitamente estos elementos?

Answer 1

Así que queremos tener $\sigma(12)(34)\sigma^{-1}=(12)(34)$ . Tenemos el siguiente conjunto $S$ que están en el estabilizador de $(12)(34)$ : $S:=\{(12)(34),e,(13)(24),(14)(23),(1324),(1423),(12),(34)\}$ . Así que $S'_{n-4} \subset S_n$ denotan las permutaciones en $S_n$ que fija $\{1,2,3,4\}$ . El centralizador debe ser $S\times S'_{n-4}:=\{s\sigma|s \in S, \sigma\in S'_{n-4}\}$ .