Demostrar que $2n\mid m$ es asimétrico

Question

Sea $R$ sea una relación sobre $\Bbb{N}$ dado por $$nRm\iff2n\mid m.$$ Demostrar que $R$ es asimétrica.

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Sé que una relación simétrica es $\forall a,b\in A(aRb\to b\not Ra)$ es decir $\forall a,b\in A\;\neg(aRb\wedge bRa)$ .

A partir de esto, supongamos que $2n\mid m$ es decir, existe un $k\in\Bbb{Z}$ tal que $m=2kn$ . Tenemos que demostrar que $n\neq2pm$ donde $p\in\Bbb{Z}$ es decir $2m\not\mid n$ ¿verdad?

Si es correcto, entonces no soy capaz de demostrarlo. Si $m=2kn$ entonces $(2p)m=(2p)2kn$ . ¿Y ahora qué?

EDITAR Desde $2pm=4pkn$ concluimos que $2pm\neq n$ es decir $2m\not\mid n$ pero $2pm=4pkn$ ¿verdad?

Answer 1

Prueba con la contradicción. Di que existe $a,b$ tal que $aRb$ y $bRa$ así que $2a\mid b$ y $2b\mid a$ .

Entonces $2a\leq b$ y $2b\leq a$ así que $4a\leq a$ y por lo tanto $3a\leq 0$ una contradicción.

Answer 2

Mi primer pensamiento al ver esto es que si $2n \mid m$ y $2m \mid n$ (si fuera simétrico) entonces $4m \mid 2n \mid m$ . Entonces, porque $\mid$ es transitiva, tenemos $4m \mid m$ . Se trata de reducir a partir de dos variables ( $m$ y $n$ ) a una sola variable.

Ahora podemos continuar la discusión: $4mk = m$ y si $m \ne 0$ entonces $4k = 1$ lo cual es imposible.

Answer 3

Dado que trabajamos en $\mathbb{N}$ , $2n\mid m\Rightarrow m=2nk, k\in\mathbb{N}\Rightarrow n<m.$

Ahora bien, si $2m\mid n$ entonces $n=2mr,r\in\mathbb{N}\Rightarrow m<n,$ así que encontramos una contradicción.