Una propiedad no trivial de todos los grupos

Question

Esta pregunta apareció en mi respuesta a este pregunta, pero parece interesante en sí misma. Dejemos que $G$ sea un grupo infinito finitamente generado, $\epsilon\gt 0$ . ¿Existe un subconjunto finito $S\subset G$ tal que todo subconjunto de $S$ con al menos $\epsilon|S|$ elementos genera $G$ ? Si la respuesta es "sí", debería tener una demostración trivial por la tesis de Gromov (cada propiedad de todos los grupos finitamente generados es falsa o trivial).

Actualización. A la vista de la respuesta de Stephen y del comentario de Kevin más abajo, quizá una pregunta más correcta sea la siguiente:

• ¿Es cierto que si representamos un grupo infinito $G$ como unión de un número finito de subconjuntos, entonces uno de estos subconjuntos genera un subgrupo de índice finito de $G$ ?

Compárese con la de Adreas Thom pregunta .

Answer 1

Esto es falso para el grupo diedro infinito $\langle a,b\mid b^2=1, ba=a^{-1}b\rangle$ . Ningún conjunto $S$ trabaja para $\epsilon\le1/3$ porque siempre hay un subconjunto con $\lceil{\epsilon|S|}\rceil$ elementos que se encuentra enteramente en $\{a^n\mid n\in\mathbb{Z}\}$ , $\{a^{2n}b\mid n\in\mathbb{Z}\}$ o $\{a^{2n+1}b\mid n\in\mathbb{Z}\}$ y ninguno de estos tres conjuntos genera el grupo completo.

Answer 2

Se trata de la pregunta actualizada. La respuesta es afirmativa.

Si $G$ se representa como la unión de un número finito de subconjuntos $A_1, \dots,A_n$ entonces uno de los subconjuntos genera un subgrupo de índice finito de $G$ . En efecto $G_i$ sea el subgrupo generado por $A_i$ . Entonces, $G$ es la unión de los $G_i$ .

B.H. Neumann demostró que si $G$ es la unión de un número finito de cosets izquierdos de subgrupos, entonces uno de los subgrupos es de índice finito (véase esta entrada ). En particular, existe alguna $i$ tal que $G_i$ es de índice finito.