¿Por qué no funciona este contorno para la integración compleja?

Question

Me piden que me integre: $$\int_0^\infty \frac{1}{(1+x)x^{1/3}} dx$$

La complejización de esta integral conduce a: $$f(z)=\frac{1}{(1+z)z^{1/3}}$$ singularidades: $z=0$ y $z=-1$ . Así que pensé, vamos a hacerlo fácil y elegir $\frac{-\pi}{2}<arg (z)<\frac{3\pi}{2}$ y utilizar este contorno (llamémoslo $C$ ).

Este contorno no tiene ninguna singularidad, por lo tanto (por el teorema de Cauchy-Goursat): $$\oint_C f(z)dz=0$$$$ =[\oint_A+\oint_F+\oint_B+\oint_D]f(z)dz$$

Porque $\oint_F f(z)dz=0$ cuando "R" llega al infinito (es decir, F "explota") y $\oint_D f(z)dz$ pasa a cero cuando ' $\epsilon$ es cero, nos quedamos con: $$[\oint_A+\oint_B]f(z)dz=0$$ Resultados de la parametrización de $A$ en: $z=x$ de $\epsilon$ a $R$ parametrización de $B$ resulta en $z=xe^{i\pi}$ de $R$ a $\epsilon$ .

Obtenemos: $$\oint_A f(z)dz=\int_\epsilon^R \frac{1}{(1+x)x^{1/3}} dx$$ y, porque $z^{1/3}=exp(\frac{1}{3}(log(z)\cdot i arg(z))$ $$\oint_B f(z)dz=-e^{-i\frac{\pi}{3}}\int_\epsilon^R \frac{1}{(1-x)x^{1/3}} dx$$ con $R\to\infty$ y $\epsilon\to 0$ .

No podemos concluir nada sobre esta integral. ¿Alguien podría explicarme por qué este contorno no funciona?

Answer 1

Acabas de prestar un servicio estupendo a todos aquellos que deseen aprender a utilizar la integración de contornos para evaluar integrales definidas. Realmente, has respondido a tu propia pregunta. El contorno que elegiste no sirve para evaluar la integral buscada porque acabaste con otra integral igualmente difícil de evaluar.

El objetivo de utilizar la integración de contorno es expresar la integral definida deseada en términos de otras cantidades que son conocidas, o al menos más fáciles de evaluar. En tu caso, querías evaluar

$$\int_0^{\infty} dx \, \frac{x^{-1/3}}{x+1} $$

pero terminaste expresando esa integral en términos de otra:

$$e^{-i \pi/3} PV \int_0^{\infty} dx \, \frac{x^{-1/3}}{x-1} + \pi \, e^{i \pi/6} $$

(NB He corregido su resultado incorrecto - se necesita un desvío sobre un poste en el contorno).

Esto es de poca ayuda y es una señal de alarma de que necesitas un contorno diferente. Una forma de hacerlo es sustituirlo como ha hecho @Jack. Sin embargo, si es importante evaluar directamente utilizando la integración de contorno, entonces una elección más inteligente de contorno es un contorno de ojo de cerradura sobre el eje positivo. En este caso, $\arg{z} \in [0,2 \pi]$ . La integral de contorno es entonces (en los límites a medida que el radio exterior llega a $\infty$ y el radio interior pasa a 0)

$$\left (1-e^{-i 2 \pi/3} \right )\int_0^{\infty} dx \, \frac{x^{-1/3}}{x+1} $$

Por el teorema del residuo, la integral de contorno es $i 2 \pi$ veces el residuo del polo del integrando en $z=e^{i \pi}$ de modo que

$$\int_0^{\infty} dx \, \frac{x^{-1/3}}{x+1} = \frac{i 2 \pi}{1-e^{-i 2 \pi/3}} e^{-i \pi/3} = \frac{\pi}{\sin{(\pi/3)}}$$

Answer 2

La cuestión principal es que $z^{1/3}$ no es una función holomorfa o meromorfa, tiene un punto de bifurcación en el origen. De todos modos, fijando $x=z^3$ que tenemos: $$ \int_{0}^{+\infty}\frac{dx}{(1+x)x^{1/3}} = 3\int_{0}^{+\infty}\frac{z\,dz}{1+z^3} $$ y sin utilizar análisis complejos, sino simplemente dividiendo el rango de integración en dos intervalos y aplicando el cambio de variable $z\mapsto\frac{1}{z}$ en la integral "más a la derecha": $$ \int_{0}^{+\infty}\frac{z}{1+z^3}\,dz = \int_{0}^{1}\frac{z\,dz}{1+z^3}+\int_{0}^{1}\frac{dz}{z^3+1} = \int_{0}^{1}\frac{dz}{z^2-z+1} $$ que tenemos: $$ \int_{0}^{+\infty}\frac{dx}{(1+x)x^{1/3}} = 2\sqrt{3}\,\left.\arctan\left(\frac{2x-1}{\sqrt{3}}\right)\right|_{0}^{1}=\color{red}{\frac{2\pi}{\sqrt{3}}}.$$