Subjetividad de morfismos de variedades proyectivas lisas

Question

Tengo una pregunta sobre una prueba de la "subjetividad de morfismos de variedades proyectivas" (todo un bocado). Aunque hay pruebas utilizando la completitud de las variedades, estoy interesado en una prueba elemental. He encontrado un ejercicio que me ha guiado hacia dicha demostración:

Sea $C,C' \in \mathbb{P}$ sean dos curvas planas suaves e irreducibles sobre un campo algebraicamente cerrado $k$ y que $\phi : C \rightarrow C'$ sea un morfismo.

(a) - Supongamos $P \in C'(k)$ no reside en la imagen de $\phi$ . Demuestre que existe una función racional no constante $f \in k(C')$ sin polos excepto en $P$ y deducir que la imagen de $\phi$ está contenido en un subconjunto algebraico estricto de $C'$

(b) - Un subconjunto algebraico estricto de $C'$ es un conjunto finito de puntos

(c) - Demuestre que la imagen de $\phi$ no puede consistir en $n>1$ puntos distintos de $C'$ y deducir que $\phi$ es constante o suryectiva.

Mi principal problema radica en (a). Se dio la pista de que toda función racional sobre $C$ sin polos debe ser constante. Y así, si tal $f$ existe, tenemos que $f \circ \phi \in k(C)$ es constante. Mi idea era aplicar el teorema de Riemann-Roch para demostrar que tal función $f$ debe existir.

¿Alguien tiene alguna sugerencia/idea?

Answer 1

Respuesta parcial:

Para aplicar Riemann-Roch: sea $D=P$ sea el divisor correspondiente al punto $P$ . Entonces Riemann-Roch dice que $$ l(D) -l(K-D) = 1+n-g $$

Para $n \gg 0$ el segundo término desaparece, por lo que $l(D) = 1+n-g > 0$ . Por lo tanto, hay $f \in l(D)$ . Pero tal $f$ satisface por definición $(f) + n(P) \geq 0$ . Esto equivale a $(f) \geq -nP$ lo que sólo ocurre si $f$ no tienen polos excepto posiblemente uno de orden hasta $n$ en $P$ .

(Aún no estoy seguro de por qué esto implica que la imagen es algebraica)