Extraña aplicación del teorema del valor medio

Question

En un libro que estoy leyendo, si $|\xi|\le|x-y|^{-1}$ entonces se utiliza el teorema del valor medio para estimar

$$|e^{-ix\cdot\xi}-e^{-iy\cdot\xi}|^{2}\le c|x\cdot\xi-y\cdot\xi|^{2}.$$

Estoy familiarizado con el teorema del valor medio para integrales y cuando tenemos una expresión en forma de cociente, pero no veo cómo se ha empleado aquí.

Estoy resolviendo un ejercicio en el que tengo un problema similar. Es decir, $|\xi|\le|y|^{-1}$ y quiero estimar

$$|e^{-i(x+2y)\cdot\xi}-2e^{-i(x+y)\cdot\xi}+e^{-ix\cdot\xi}|^{2}.$$

Answer 1

(He supuesto que $ x \cdot \xi ,y \cdot \xi$ son reales aquí).

Sea $f(t) = e^{it}$ entonces $|f'(t)| = 1$ para todos $t$ y así $|f(s)-(t)| \le |s-t|$ para todos $s,t$ .

En lo anterior, $s=x \cdot \xi $ , $t = y \cdot \xi$ Por lo tanto $|e^{i x \cdot \xi} - e^{y \cdot \xi} | \le | x \cdot \xi - y \cdot \xi |$ .

Adenda:

Desde $f(s) -f(t)= \int_0^1 f'(t+\tau(s-t)) d \tau (s-t)$ tenemos $|f(s) -f(t)| \le \int_0^1 |f'(t+\tau(s-t))| d \tau |s-t| \le |s-t| $ .

Answer 2

Sabes que $f: \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ con $f(z) = e^z$ es una función entera con $f'(z) = e^z$ . Así, para cualquier $u, v \in \mathbb{C}$ tenemos $$ \int_{u}^v e^z dz = e^v - e^u$$ y el valor absoluto de $e^z$ en el segmento $[u, v]$ está limitada por $c_{u,v} = e^{\max(\text{Re} u,\text{Re} v)}$ . Concluimos que $$|e^v - e^u| \le c |u - v|.$$ Aviso que puede tomar $c$ como una constante independiente de $u$ y $v$ si los números que consideras están acotados.