Efecto Hall cuántico para dummies

Question

En los últimos días me he sentido cada vez más intrigado por la QHE, sobre todo gracias a preguntas y respuestas muy interesantes que han aparecido aquí. Desgraciadamente, todavía estoy muy confundido con todas las cosas (aparentemente dispares) que he aprendido.

En primer lugar, he aquí algunos puntos al azar que he podido reunir

1. I(nteger)QHE se produce debido a la presencia de niveles de Landau
2. IQHE es una encarnación del orden topológico y los estados se caracterizan por el número de Chern que nos habla de Hamiltonianos topológicamente no equivalentes definidos en la zona de Brillouin
3. La IQHE requiere que las interacciones electrón-electrón sean insignificantes, por lo que depende de la presencia de impurezas que protejan de la fuerza de Coulomb.
4. F(ractional)QHE se produce debido a la formación de anyones. En este caso no se puede despreciar la interacción de Coulomb, pero resulta que emerge una descripción efectiva de no-interacción con partículas que obedecen la paraestadística y tienen carga fraccional
5. FQHE también tiene algo que ver con la topología, TQFT, teoría de Chern-Simons, grupos trenzados y muchas otras cosas.
6. FQHE tiene algo que ver con los estados jerárquicos

He aquí las preguntas

• Y lo que es más importante, ¿tienen sentido estos puntos? Por favor, corrija cualquier error que haya cometido y/o complete otras observaciones importantes.
• ¿Cómo se conjugan las explicaciones 1. y 2. de IQHE? La cuantización de Landau sólo habla de estados de electrones, mientras que la imagen topológica no los menciona en absoluto (deberían sustituirse por estados topológicos globales que sean estables frente a perturbaciones).
• ¿Cómo se relacionan las explicaciones 4., 5. y 6.?
• ¿Existe bibliografía introductoria accesible sobre estas cuestiones?
• ¿Tienen IQHE y FQHE algo en común (aparte de las tres últimas letras) para que, por ejemplo, IQHE pueda tratarse como un caso especial? Mi opinión (basada en 3.) es que no es así, pero varios puntos apuntan en la dirección contraria. Por eso pregunto sobre ambas QHE en una sola pregunta.

Answer 1

Vaya, es difícil saber por dónde empezar. Permítanme empezar y ver donde me quedo sin vapor. Iré por el orden en que escribiste tus preguntas y haré comentarios:

1. Cuando se cuantizan electrones en un campo magnético, se obtienen niveles de Landau: niveles de energía discretos muy degenerados. Puedes visualizar cada uno de ellos como un electrón que se mueve en un círculo cuyo radio está cuantizado (determinado por el nivel de Landau) y cuyo centro puede estar en cualquier parte (lo que da lugar a la degeneración). Contrariamente a algunas discusiones que se oyen a veces, esto por sí mismo NO da lugar a una conductancia Hall cuantizada.

2. Para la QHE entera, el siguiente paso crucial es la presencia de un potencial aleatorio, proporcionado por las impurezas. Entonces se puede demostrar que cada nivel de Landau contribuye con un valor fijo a la conductancia Hall, y por lo tanto esa conductancia cuenta el número de niveles de Landau llenos. El hecho de que esto sea robusto está relacionado con la topología, el número de Chern y todas esas cosas buenas.

3. FQHE es una historia diferente, para la que la conductancia Hall puede ser fraccionaria. Lo único que IQHE y FQHE tienen en común es el efecto físico final, pero el mecanismo es muy diferente. Para el efecto fraccionario se necesitan muestras muy puras, ya que es impulsado por fuertes interacciones de Coulomb entre los electrones degenerados en cada uno de los niveles de Landau. Se trata de un problema intrínsecamente difícil, y de hecho sólo se resolvió mediante una conjetura: la función de onda de Laughlin.

4. La EFT que describe las excitaciones de baja energía está relacionada con la teoría de Chern-Simons, y esas excitaciones básicas obedecen a la estadística anyónica. Más allá de eso, creo que todos los demás efectos que has mencionado (por ejemplo, los estados de jerarquía), podrían describirse como "temas especiales".

Por último, yo sólo soy un humilde teórico de la alta energía, así que esperaré correcciones y un panorama más completo por parte de los expertos. Aun así, ha sido divertido escribirlo.

(Por cierto, todo esto es material bien conocido que aparece en los libros de texto, aunque no siempre de forma organizada. Una buena fuente: Mike Stone ha editado una colección de artículos sobre el tema para la que ha proporcionado una serie de introducciones. Si encuentras este libro, esas introducciones son muy buenas).

Answer 2

He aquí algunos comentarios sobre los puntos:

1) I(nteger)QHE se produce debido a la presencia de niveles de Landau

Sí

2) IQHE es una encarnación del orden topológico y los estados se caracterizan por el número de Chern que nos habla de Hamiltonianos topológicamente no equivalentes definidos en la zona de Brillouin

IQHE es un ejemplo de orden topológico, aunque el orden topológico se introduce para describir principalmente FQHE. La caracterización de IQHE por el número de Chern de la banda de energía sólo funciona para fermión no interactuante sin impureza, mientras que IQHE existe incluso para fermiones interactuantes. Así que IQHE es más que el número de Chern de la banda de energía. Las excitaciones de cuasipartículas en estados IQH son siempre fermiones.

3) La IQHE requiere interacciones electrón-electrón despreciables, por lo que depende de la presencia de impurezas que protejan de la fuerza de Coulomb.

La IQHE no requiere interacciones electrón-electrón despreciables. IQHE existen incluso en el sistema limpio con la fuerza de Coulomb, si se controla la densidad de electrones por las puertas.

4) F(ractional)QHE se produce debido a la formación de anyones. En este caso no se puede despreciar la interacción de Coulomb, pero resulta que surge una descripción efectiva sin interacción con partículas que obedecen la paraestadística y tienen carga fraccional

La FQHE no se produce por la formación de anyones. Los fermiones siempre llevan la estadística de Fermi por definición, y nunca son anyones. FQHE se produce debido a fuertes efectos de interacción. La descripción efectiva no interactuante no funciona realmente (por ejemplo, no describe los estados de borde y los estados no abelianos).

5) La FQHE tiene de nuevo algo que ver con la topología, la TQFT, la teoría de Chern-Simons, los grupos trenzados y muchas otras cosas.

Los estados FQH contienen un nuevo tipo de orden: orden topológico . Las teorías eficaces de baja energía de los estados FQH son TQFT (como las teorías de Chern-Simons). Las excitaciones de cuasipartículas en estados FQH son anyones.

6) Los estados jerárquicos son ejemplos de estados FQH.

Answer 3

Esto era demasiado largo para ponerlo en un comentario, así que tendrá que ser una respuesta. Todo esto como complemento a la respuesta de @Moshe R., que es excelente.

En primer lugar, sólo para corregir tus afirmaciones (además de las de Moshe): 3. Las impurezas no apantallan nada. Los propios electrones proporcionan el apantallamiento para que una aproximación de electrones independientes esté semijustificada (este es el argumento habitual de Landau Fermi-líquido). Las impurezas, sin embargo, proporcionan el potencial de dispersión básico para lograr cierta localización de Anderson, que es crucial para obtener realmente las mesetas, de lo contrario, ¡nunca se obtendría resistencia alguna! Por cierto, comprender este punto es crucial para entender por qué la conductancia longitudinal muestra los picos que muestra.

En términos más generales:

En la materia condensada, no llegamos a tener teorías exactas --- todo es una aproximación simplificada. Como tal, uno se encontrará en la literatura con muchas teorías diferentes, que enfatizan diferentes aspectos del fenómeno, y tienen diferentes cantidades de complejidad y precisión cuantitativa. En este punto, es justo decir que la IQHE se comprende bien, siendo la teoría predominante una combinación de estados topológicos, efectos de impureza y teoría de escalado de 2 parámetros (de conductancias longitudinales y transversales, al estilo de Khmelnitskii). Sin embargo, la teoría de la FQHE no ha alcanzado el mismo consenso. En algunos aspectos, FQHE es como una IQHE de electrones con flujo extra "ligado" a ellos (a través de una interacción efectiva debida a la repulsión de Coulomb); en esta imagen, todo el desorden (impurezas), etc. son de nuevo cruciales. Esto también está relacionado con los estados jerárquicos porque uno puede imaginar ligar más flujo a las excitaciones anyónicas y obtener más estados IQHE de ellas. Sin embargo, está claro que dado que el ingrediente básico es la fuerte interacción de Coulomb, sin un tratamiento sistemático (lo anterior es muy ad hoc) es imposible confiar en el rango de validez de la teoría. Se está trabajando en este aspecto (pero, para ser justos, está un poco estancado, ya que es lo suficientemente difícil desde el punto de vista teórico como para que se esté buscando algún avance fundamental en matemáticas para terminarlo).

Answer 4

Hay un libro que cubre exactamente las preguntas que has hecho:

• Nathan Goldman, Quantum transport in lattices subjected to external gauge fields: The quantum Hall effect in optical lattices and quantum graphs, http://www.amazon.com/Quantum-transport-lattices-subjected-external/dp/3639163869 (Lo estoy leyendo ahora y es sencillo y está bien escrito).

Si le falta tiempo (o dinero), el libro se basa en su tesis:

• Nathan Goldman, Quantum transport and phase transitions in lattices subjected to external gauge fields, http://theses.ulb.ac.be/ETD-db/collection/available/ULBetd-04012009-152422/