Grupo de Galois de $\mathbb{Q}_p(\zeta_4,\sqrt[4]{p})/\mathbb{Q}_p$ para $p-1$ no divisible por $4$

Question

Sea $p > 2$ sea un número primo tal que $p-1$ no es divisible por $4$ .

Considere $K = \mathbb{Q}_p$ y $L = \mathbb{Q}(\sqrt[4]{p},\zeta_4)$ donde $\zeta_4 \in L$ es una raíz cuarta primitiva de la unidad (es decir, raíces del polinomio $x^2 +1 \in K[x]$ ). Si mis argumentos son correctos, la extensión $L/K$ es Galois y tiene grado $8$ .

Pregunta : ¿Cuál es el grupo de Galois de $L/K$ ?

Sé que $F=K(\zeta_4)$ es la máxima subextensión no ramificada de $L/K$ con grado $2$ . Creo que probablemente sea así como debería enfocar este problema. Tengo la sensación de que podría demostrar que el grupo de Galois no es el grupo cíclico de orden $8$ pero no estoy seguro de cómo funciona el argumento.

Answer 1

Sea $F = \mathbb{Q}_p(\zeta_4)$ . Por la teoría de Kummer tenemos que $L$ es Galois sobre $F$ y $\text{Gal}(L/F) = \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ generado por $\sigma \mapsto \frac{\sigma\sqrt[4]{p}}{ \sqrt[4]{p}}$ (que es independiente de la elección de la 4ª raíz).

Entonces tenemos una secuencia exacta $$ 0 \to \mathbb{Z}/4\mathbb{Z} \to G \to \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \to 0. $$ De ello se deduce que $G$ es el grupo diedro de orden 8 o es abeliano. Pero $G$ no es abeliano ya que la subextensión $\mathbb{Q}_p(\sqrt[4]{p})$ no es Galois sobre $\mathbb{Q}_p$ .