Tengo una pregunta sencilla:
Sea $A \in L(X)$ sea un operador lineal acotado sobre el espacio normado $X$ .
No es demasiado difícil ver que el operador exponencial $e^A = \sum_{\substack{k = 0}}^{\infty} \frac{A^k}{k!}$ es lineal y está acotada utilizando la desigualdad triangular ampliada.
Y eso nos dará $||e^A|| \leq e^{||A||}$ también.
Ahora se trata de demostrar que si $A$ es compacto, entonces $e^A$ ¿también es compacto?
Mi idea es examinar $e^A$ como composición de la función identidad $Id: K(X) \rightarrow K(X)$ que lleva $A(t) \in K(X)$ a $A(t)$ para todos $t \in X$ ; con la función exponencial $exp: L(X) \rightarrow L(X) $ que lleva $x(t)$ a $e^{x(t)} = \sum_{\substack{k = 0}}^{\infty} \frac{{x(t)}^k}{k!}$ . Y como $exp$ es continua y acotada y $Id$ un operador compacto, por lo que $exp(Id): K(x) \rightarrow K(x)$ será un operador compacto?
Por favor, corríjanme si estoy equivocado y tan lejos de estar en lo cierto?
Gracias.
