Pregunta sobre el $\sigma$ -álgebra para lanzamiento infinito de moneda

Question

Sea $\{a_i\}$ sea una secuencia contable de valores binarios que representan los resultados de repetidos lanzamientos de monedas justas independientes con $a_i= 0$ indicando cola y $a_i = 1$ indicando la cabeza.

Sea $\Omega$ sea el espacio muestral formado por todos los posibles $\{a_i\}$ . En $\sigma$ -se construye de la siguiente manera.

Sea $\cal F_n, n\in\Bbb N$ sea el conjunto de secuencias que pueden determinarse mediante $a_1,a_2,...,a_n$ unión $\{\emptyset, \Omega\}$ .

Por ejemplo $A_0$ denota el conjunto de secuencias con $a_1=0$ , $A_1$ denota el conjunto de secuencias con $a_1=1$ , $A_{00}$ denota el conjunto de secuencias con $a_1=0,a_2=0$ , $A_{10}$ denota el conjunto de secuencias con $a_1=1, a_2=0$ etc. Entonces $\cal F_1 = \{\emptyset, \Omega, A_0, A_1\}$ , $\cal F_2 = \{\emptyset, \Omega, A_0, A_1,A_{00},A_{01},A_{10},A_{11}\}$ etc.

No es difícil comprobar que $\cal F_n$ es creciente, es decir $\cal F_n \subseteq \cal F_{n+1}$ . Defina $\cal F_\infty = \bigcup_{i=1}^\infty \cal F_i$ y obtenemos el resultado de que $\cal F_\infty$ no es un $\sigma$ -álgebra. Sin embargo, la $\sigma$ -generada por $\cal F_\infty$ denotado como $\sigma(\cal F_\infty)$ es lo que necesitamos, y podemos definir una medida de probabilidad sensata en el espacio medible $\Omega, \sigma(\cal F_\infty))$ .

Mi pregunta es : es $\sigma(\cal F_\infty)=2^\Omega$ ? O, en otras palabras, ¿por qué es necesaria la construcción anterior?

Gracias.

Answer 1

La respuesta es negativa. De hecho, a través del mapa $$(a_1,a_2,\dots) \mapsto \sum_{n=1}^\infty 2^{-n} a_n,$$ su espacio de probabilidad de lanzamiento de moneda es isomorfo (ignorando algún conjunto de probabilidad cero) a $([0,1],\mathcal B[0,1],\lambda)$ en particular, hay algunos conjuntos no mensurables (véase también una discusión pertinente aquí ).