Biyecciones (explícitas) entre las afines $\mathbb{A}^n$ y la proyectiva $\mathbb{P}^n$ espacio.

Question

Me refiero al caso complejo así que fijémonos $K=\mathbb{C}$ como campo base.
Consideraré la topología Zariski habitual en los espacios.

Estaba reflexionando sobre la existencia de homeomorfismos entre estos dos espacios, y en particulare conozco los dos hechos siguientes:

$\mathbb{A}^1$ y $\mathbb{P}^1$ son homeomórficas.
Para $n\geq 2$ $\mathbb{A}^n$ y $\mathbb{P}^n$ no son homeomórficas

En particular, el primer hecho desciende de los espacios que tienen la misma cardinalidad y que tienen la topología cofinita, mientras que en el segundo caso podemos razonar sobre la inntersección de las hipersuperficies.

De todas formas me he dado cuenta:

1. No puedo explicar por qué $\mathbb{A}^1$ y $\mathbb{P}^1$ tienen la misma cardinalidad y a fortitori No puedo exhibir una biyección explícita entre ellos
2. Para que el segundo problema sea de interés debemos tener una biyección entre $\mathbb{A}^n$ y $\mathbb{P}^n$ pero no se me ocurre ninguna. En particular, la inmersión habitual de $\mathbb{A}^n$ en $\mathbb{P}^n$ no es una biyección.
3. ¿Cambia el resultado si cambiamos el campo base?

¿Puede alguien ayudar, por favor?

Answer 1

1. $\Bbb P^1_\Bbb C=\Bbb A^1_\Bbb C \cup \Bbb A^0_\Bbb C$ como conjuntos. Dado que $|S_1\cup S_2|=\max(|S_1|,|S_2|)$ si uno de $S_1$ o $S_2$ es infinito, tenemos el resultado. Para una biyección explícita, definamos un mapa de conjuntos $\Bbb A^1\to \Bbb P^1$ enviando $0\mapsto [0:1]$ , $x\mapsto [1:x-1]$ para $x$ un número entero positivo, y $x\mapsto [1:x]$ para todos los demás $x$ .

2. Usamos el mismo truco que en 1. Escribe $\Bbb P^n_\Bbb C=\Bbb A^n_\Bbb C\cup \cdots \cdot \Bbb A^0_\Bbb C$ . Por lo tanto, ambos lados son de cardinalidad $|\Bbb C|$ y existe una biyección entre ellas. Para una bijección explícita, funciona el mismo truco de "moverlo": supongamos que hemos construido una bijección entre $\Bbb A^{n-1}$ y $\Bbb P^{n-1}$ por inducción. A continuación definimos una biyección entre $\Bbb A^n$ y $\Bbb P^n$ aplicando la biyección entre puntos de la forma $(x_1,\cdots,x_{n-1},0)$ y $[0:z_1:\cdots:z_n]$ y enviando $(x_1,\cdots,x_n)$ a $[1:x_1:\cdots:x_n-1]$ para $x_n$ un número entero positivo y $[1:x_1:\cdots:x_n]$ de lo contrario.

3. Sí, para los campos finitos el recuento de puntos es explícitamente diferente. Para campos infinitos, se aplica el mismo principio general, pero es posible que haya que utilizar biyecciones más interesantes que las construidas anteriormente (por ejemplo, si el campo base es $\overline{\Bbb F_2}$ entonces el campo es infinito, pero no tenemos los números enteros alrededor para mover las cosas tan bien).