Dos radicales de Jacobson

Question

Tengo que conocer los radicales de Jacobson de los anillos $$R=\left\{\left [\begin{array}\ \mathbb x & \mathbb y\\ 0 & \mathbb x \end{array} \right ] \mid x,y\in \mathbb Z_2\right\}$$ y $$S= \left\{\left [\begin{array}\ \mathbb x & \mathbb y\\ 0 & \mathbb x \end{array} \right ]\mid x\in \mathbb Z_4, y\in \mathbb Z_4 \oplus \mathbb Z_4\right\}.$$ Sé que el radical Jacobson de $\left [\begin{array}\ \mathbb Z_2 & \mathbb Z_2\\ 0 & \mathbb Z_2 \end{array} \right ]$ es $\left [\begin{array}\ \mathbb 0 & \mathbb Z_2\\ 0 & \mathbb 0 \end{array} \right ]$ y contiene $J(R)$ . Del mismo modo, $J(S)$ se encuentra en $\left [\begin{array}\ 2\mathbb Z_4 & \mathbb Z_4\oplus\mathbb Z_4\\ 0 & 2\mathbb Z_4 \end{array} \right ]$ . ¿Alguna sugerencia?

Answer 1

Para ambos anillos, si se toma el cociente por los ideales ya encontrados se obtiene un anillo de matrices escalares, por tanto un campo. La intersección de todos los subespacios máximos es en ambos casos el ideal cero, por lo que las imágenes inversas del ideal cero bajo las proyecciones son las intersecciones de los ideales máximos, es decir, los ideales que ya has encontrado.