Mostrando que algunos isn symplectomorphism ' t hamiltoniano

Question

Tengo el siguiente symplectomorphism $(x,\xi)\mapsto (x,\xi+1)$$T^* S^1$, y me preguntan si es Hamiltoniano symplectomorphism, yo creo que no, aunque no estoy seguro de cómo mostrarlo.

Sé que es Hamiltoniano cuando hay un hamiltoniano isotopía $\phi_t$ s.t $\phi_0=Id \ \phi_1=\psi$ donde $\psi$ es el de arriba symplectomorphism, y su campo de vectores asociado con es Hamiltoniano. Pero no veo cómo se relacionan con la pregunta anterior.

Me dio una pista para calcular el Jacobiano de esta transformación, pero no veo la relevancia aquí.

Algún consejo?

Gracias, deprimido MP.

Answer 1

Este no es un Hamiltoniano symplectomorphism.

En primer lugar, una vez $S^1$ es una Mentira de su grupo, la cotangente del paquete es un producto y, de hecho, se puede considerar como un cilindro. De manera que la transformación en cuestión es una traducción de este cilindro $C$. Si nos ponga un Hamiltoniano

$$H:C\rightarrow\mathbb{R}$$

entonces su pendiente será ortogonal a la simpléctica gradiente. El simpléctica gradiente debe ser el campo que dará lugar a la isotopía. Pero el gradiente de campo de $H$ debe estar en todas partes-no cero y la tangente a $S^1$, lo cual es imposible una vez $S^1$ es un compacto de colector y de cualquier función real diferenciable en compacto colectores deben tener puntos críticos.

Answer 2

respuesta corta: deje $d\theta$ ser el "ángulo" 1-formulario de $S^1$ (es cerrado, pero no exacta). La forma simpléctica que usted está considerando es $\omega = d\theta \wedge dp$. Si $\partial / \partial p$ fue de Hamilton, no sería una función $H$ la satisfacción de: $$ dH = \omega(\partial / \partial p) = d\theta$$
que es imposible desde $d\theta$ no es exacto. Por tanto, el campo en el que no Hamiltonianos. qed

---

Lo que me parece interesante de esta pregunta es la siguiente. Pienso en términos físicos. Tome la siguiente con un graion de sal, si se desea. Imagine el siguiente, una medida de dos números, la posición $x$ e ímpetu $p$ (para simplificar, pensar en ella como la velocidad) de un objeto restringido a moverse en una línea recta. En mi punto de vista, la geometría simpléctica le pide que haga lo siguiente:

Paso 1), Creo que estos dos medidas como los dos completamente independiente de las cosas. Suponga que no hay interacción entre estos dos números.

que es una extraña tomar sobre el tema. Que intuitivamente imaginar que de 3 km/h en la "dirección del eje-x" no permitirá que usted se mueva en el eje de la dirección. Qué hacer?

Paso 2) imponer una relación entre x y p, no la measurament (en el colector de nivel), pero podemos volver a afirmar que existe una relación entre estas dos cosas en el espacio de la tangente de la $(x,p)$ plano. Esa es la forma simpléctica.

Es, en mi opinión, una especie de giro de 90 grados. "Gira" el vector $\partial / \partial x$ "$\partial / \partial p$ " (más precisamente, a la $dp$). Por lo tanto, con la forma simpléctica, podemos recordar la relación entre el$x$$p$.

Ahora que suponemos que la posición y la velocidad en un pie de igualdad, lo que puede ir extraña? Quizá la más simple dinámica de todas es la dada por el hamiltoniano

$$ H = p^2/2m$$

el uso de la forma simpléctica, esta es la dinámica del campo de vectores $p \partial / \partial x$. La solución es un montón de líneas horizontales de la $(x,p)$ plano. Hasta ahora, ok, no hay nada extraño. La velocidad es constante, mientras que la posición está cambiando - es sólo algo que se mueve con velocidad constante. Pero ahora, geometría simpléctica parece no tener ninguna preferencia para la posición encima de la velocidad; por lo tanto, hay un hamiltoniano del sistema, donde la posición es fija, pero los cambios de velocidad? Claramente sí: $$ H = x^2/2$$ hará el truco. Para mí, es bastante no físico que la geometría simpléctica permitiría la dinámica de este tipo que existen. Pregunté a varias física amigos si saben de algo en estas líneas teniendo lugar en la física (tal vez podría ser utilizado como un cálculo truco). Nadie sabía. Todo lo que puedo pensar es que en geometría simpléctica, si usted ve un coche aparcado, no lo toque! para ello podría estar sentado allí la recopilación de una gran cantidad de momento lineal de espera para que te toque y lo descarga en un enorme impacto.