En cuanto a la observación de R. Israel, tres de tus fracciones continuas, aunque no son exactamente iguales, son variantes de una forma común discutida aquí para $|q|<1$ ,
$$\frac{1}{1-q} =\cfrac{1}{1+q-\cfrac{\color{brown}{2q(1+q^2)}}{1+q^3+\cfrac{q^2(1-q)(1-q^3)}{1+q^5-\cfrac{q^3(1+q^2)(1+q^4)}{1+q^7+\cfrac{q^4(1-q^3)(1-q^5)}{1+q^9-\ddots}}}}}\tag0$$
En primer lugar, el de los números de Fibonacci en esta entrada ,
$$\chi(q)=\cfrac{1}{1+q-\cfrac{\color{brown}{(1+q^2)}}{1+q^3+\cfrac{q^2(1-q)(1-q^3)}{1+q^5-\cfrac{q^3(1+q^2)(1+q^4)}{1+q^7+\cfrac{q^4(1-q^3)(1-q^5)}{1+q^9-\ddots}}}}}\tag1$$
En segundo lugar, el de los números de Narayana en esta entrada ,
$$\psi\Big(q\Big)=\cfrac{1}{1+q-\cfrac{\color{brown}{q^2}}{1+q^3+\cfrac{q^2(1-q)(1-q^3)}{1+q^5-\cfrac{q^3(1+q^2)(1+q^4)}{1+q^7+\cfrac{q^4(1-q^3)(1-q^5)}{1+q^9-\ddots}}}}}\tag2$$
Tercero, el de este post con $q \to -q$ ,
$$M(q) = \cfrac{1}{1-q+\cfrac{\color{brown}{q^3}}{1-q^3+\cfrac{q^2(1+q)(1+q^3)}{1-q^5+\cfrac{q^3(1+q^2)(1+q^4)}{1-q^7+\cfrac{q^4(1+q^3)(1+q^5)}{1-q^9+\ddots}}}}}\tag3$$
Dispuestas de este modo, se puede ver su forma común. Observe que la parte marrón es el único "nivel" que cambia así como dejar que $q\to-q$ . (A partir de esta observación, experimenté con el uso de $\color{brown}{-1+q^2, -q+q^2, q+q^2, q^4}$ en lugar de las anteriores, y también producen funciones generadoras de secuencias conocidas en la OEIS).
P.D. Transformar $(0)$ a $(3)$ me sale,
$$\begin{aligned}M(q) &=\frac{1+q^2}{1-q+q^2}\\ &= 1+q+q^2-q^4-q^5+q^7+q^8-q^{10}-q^{11}+\dots \end{aligned}$$
y la secuencia es A163806 (el Gf está corregido por B. Berselli). Afirma que,
$$a(3n) = 0$$
por lo que tu observación de que los exponentes con coeficientes distintos de cero son los enteros no divisibles por 3 es correcta. (Tenga en cuenta que esta fórmula sólo es válida para $|q|<1$ .)
