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Referencias de la demostración "moderna" del teorema de Newlander-Nirenberg

Hola,

Estoy empezando a preparar un curso de postgrado sobre complejos y variedades de Kahler para enero de 2011. Quiero utilizar este curso como excusa para enseñar a los estudiantes algo de análisis geométrico. En concreto, quiero centrarme en el teorema de Hodge, el teorema de Newlander-Nirenberg y el teorema de Calabi-Yau.

Tengo muchas referencias excelentes (y he dado conferencias antes) sobre los teoremas de Hodge y CY. Sin embargo, me resulta difícil encontrar un tratamiento "moderno" del teorema de Newlander-Nirenberg. Recuerdo haber estudiado el artículo original en mi época de estudiante de posgrado, pero espero que haya por ahí una versión más simplificada. (Quiero considerar el caso general suave, no la versión real-analítica fácil). Además del artículo original, hasta ahora sólo he encontrado estas referencias:

J. J. Kohn, "Harmonic Integrals on Strongly Pseudo-Convex Manifolds, I and II" (Annals of Math, 1963)

y

L. Hormander, "An introduction to complex analysis in several variables" (Tercera edición, 1990)

Ambos son más fáciles de seguir que el documento original. Pero mi pregunta es: ¿hay alguna otra prueba en la literatura, preferiblemente de libros más que de artículos? Los textos estándar sobre geometría compleja y geometría de Kahler que he consultado no tienen esto.

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Jon Waite Puntos 21

Hola Spiro: He tenido casi las mismas dificultades que tú, pero ahora conozco una prueba moderna.

En el fondo, la prueba original es una aplicación del teorema de la función implícita. Más concretamente, supongamos que $U$ sea un polidisco en $C^n$ consideremos la secuencia de las variedades de Banach $Diff^{k,\alpha}(U,C^n) \to AC^{k-1,\alpha}(U) \to (A^{0,2})^{k-2,\alpha}(U,TU).$

Se trata respectivamente de los difeomorfismos $U\to C^n$ de clase $(k,\alpha)$ las estructuras casi complejas en $U$ de clase $(k-1,\alpha)$ y el $(0,2)$ formularios en $U$ con valores en el haz tangente holomorfo, de clase $(k-2,\alpha)$ . El primer mapa es el pullback de la estructura compleja estándar, y el segundo es la forma de integrabilidad de Frobenius $\phi \mapsto \overline \partial \phi - \frac 12 [\phi\wedge \phi].$

El objetivo es demostrar que el primer mapa es localmente suryectivo sobre la imagen inversa de $0$ al segundo. Estos espacios son colectores de Banach, y si se puede demostrar que la sucesión de derivadas (respectivamente en la identidad, en la estructura compleja estándar y en 0) es exacta dividida, el resultado se sigue del teorema de la función implícita.

Esta secuencia de derivadas es la secuencia de Dolbeault en $U$ (en la clase apropiada), y se divide exactamente, aunque esto NO es obvio. Hay un error en el artículo original, o más bien en el artículo de Chern del que depende, pero el resultado es cierto. El resto del lío en la prueba original se debe a que los autores escribieron la iteración de Picard en el caso específico, en lugar de aislar el resultado necesario.

Estoy trabajando en ello con Milena Pabiniak, una estudiante de posgrado de Cornell. Escríbeme a jhh8@cornell.edu si te interesa conocer los detalles.

John Hubbard

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mleykamp Puntos 491

Está tratado en el libro de Demailly, demasiado poco conocido, Geometría analítica y diferencial compleja, aunque, al parecer, la prueba que allí se da sigue el modelo de las referencias que has citado.

Editar : Me acabo de dar cuenta de que el enlace MathOnline actualmente parece no ser funcional, así que aquí hay un enlace a Página web de Demailly .

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rguha Puntos 133

Hay una prueba debida a Malgrange que puede encontrarse en Nirenberg's, Lectures on Linear Partial Differential Equations. No estoy seguro de que la prueba pueda considerarse moderna, pero es la más sencilla que conozco.

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Simon Salamon Puntos 546

Esto no es exactamente una respuesta a tu pregunta, pero puedes consultar el libro de Donaldson y Kronheimer "The geometry of 4-manifolds". En el capítulo 2 demuestran un teorema de integrabilidad para haces vectoriales holomorfos, que puede considerarse una versión más sencilla del teorema de Newlander-Nirenberg, y (en mi opinión) muy adecuado para tu curso. También podría mencionar el siguiente ejemplo sencillo con fines didácticos: el grupo de Lie nilpotente H^3 x R, donde H^3 es el grupo de Heisenberg, tiene una estructura casi compleja invariante a la izquierda cuyo tensor de Nijenhius desaparece. Aunque no es un grupo complejo de Lie es fácil encontrar coordenadas complejas locales independientes z_1, z_2. Sospecho que hay clases similares de ejemplos casi complejos en los que la integración es elemental.

5voto

Arnelism Puntos 558

En mis continuas búsquedas de pruebas modernas de Newlander-Nirenberg, encontré esta gran fuente: se trata de "Applications of Partial Differential Equations to Some Problems in Geometry", un conjunto de notas de clase de Jerry Kazdan, que están disponibles en su sitio web en UPenn. La prueba de Newlander-Nirenberg aquí está basada en la prueba de Malgrange, que también está en el libro de Nirenberg (mencionado por Morris KaLka en su respuesta más arriba), pero estas notas de Kazdan cubren un lote de teoremas básicos de análisis geométrico, por lo que son un recurso excelente. Ojalá hubiera sabido de esto cuando estaba en la escuela de posgrado...

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