Dado que llueve, ¿cuál es la probabilidad de que no tengas tu paraguas?

Question

Llueve en una ciudad con una probabilidad de 0,4. La previsión meteorológica no siempre es exacta. Cuando va a llover al día siguiente, la previsión predice la lluvia con una probabilidad de 0,8; cuando no llueve, la previsión predice falsamente una lluvia con una probabilidad de 0,1. Usted coge el paraguas todas las veces que se prevé lluvia, y coge el paraguas el 25% de las veces que no se prevé lluvia. Calcula la probabilidad de que llueva, dado que la previsión es de lluvia. Dado que llueve, ¿cuál es la probabilidad de que no lleves el paraguas?

Sea $R$ ser el evento sobre la lluvia de mañana, $FR$ ser el evento sobre el pronóstico del tiempo predice que lloverá mañana y $U$ sobre llevar mi paraguas.

Para la primera parte, tengo $$\mathbb{P}(R\,\vert\,FR)=\frac{\mathbb{P}(R\cap FR)}{\mathbb{P}(FR)}=\frac{\mathbb{P}(FR\,\vert\,R)\mathbb{P}(R)}{\mathbb{P}(FR\,\vert\,R)\mathbb{P}(R)+\mathbb{P}(FR\,\vert\,R^c)\mathbb{P}(R^c)}$$

Para la segunda parte, tengo $$\mathbb{P}(U^c\,\vert\,R)=\frac{\mathbb{P}(R\,\vert\,U^c)\mathbb{P}(U^c)}{\mathbb{P}(R)}$$ Me quedo atascado en este paso, ¿cómo calcular $\mathbb{P}(R)$ ? ¿Y me instalo correctamente en la segunda parte?

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EDIT: He obtenido una respuesta diferente tras una lluvia de ideas, $$\mathbb{P}(U^c\,\vert\,R)=\mathbb{P}(FR\,\vert\,R)\mathbb{P}(U^c\,\vert\,FR\cap R)+\mathbb{P}(FR\,\vert\,R^c)\mathbb{P}(U^c\,\vert\,FN\cap R)$$ donde $FN$ es el evento sobre el pronóstico predice que no lloverá mañana.

Answer 1

Para la primera parte tienes la fórmula y puedes calcular el resultado de forma sencilla ya que sabes que $\mathbb P(R)=0.4, \space \mathbb P(FR|R)=0.8, \space \mathbb P(FR|R^c)=0.1$

Para la segunda parte, creo que es más sencillo verlo como: $$\mathbb P(U^c|R) = 1- \mathbb P(U|R) = 1- \frac{\mathbb P(U \cap R)}{\mathbb P(R)}$$

Entonces sólo tiene que encontrar $\mathbb P(U \cap R)$ .

Ampliar $R$ en dos eventos disjuntos obtenemos: $R = (R\cap FR) \cup(R\cap FR^c)$ Y como son disjuntos la probabilidad se convierte: $$\mathbb P(U \cap R) = \mathbb P(U \cap R\cap FR) + \mathbb P(U\cap R\cap FR^c)$$

La primera legislatura: $$\mathbb P(U \cap R\cap FR) = \mathbb P(U|FR)\cdot \mathbb P(FR|R)\cdot \mathbb P(R) = 1 \cdot 0.8 \cdot 0.4 = 0.32$$

La segunda legislatura: $$\mathbb P(U \cap R\cap FR^c) = \mathbb P(U|FR^c)\cdot \mathbb P(FR^c|R)\cdot \mathbb P(R) = 0.25 \cdot 0.2 \cdot 0.4 = 0.02$$

Así que $\mathbb P(U \cap R) = 0.32 + 0.02 = 0.034$ y así $\mathbb P(U^c|R) = 1- \frac{0.34}{0.4} = 0.15$