Qué es mayor, $300 !$ o $(300^{300})^\frac {1}{2}$?

Question

El que es mayor entre los $300 !$$\sqrt {300^{300}}$ ?

La respuesta es $300 !$ (mi libro de texto de la respuesta). No sé cómo resolver problemas que involucran números tan grandes.

Answer 1

SUGERENCIA: $(300^{300})^{1/2}=300^{150}$, para comparar

$$\underbrace{300\cdot300\cdot\ldots\cdot300}_{150\text{ factors}}$$

con

$$300\cdot299\cdot\ldots\cdot1=\underbrace{(300\cdot1)\cdot(299\cdot2)\cdot\ldots\cdot(151\cdot150)}_{150\text{ factors}}\;.\tag{1}$$

Mostrar que cada uno de los factores entre paréntesis en $(1)$ al menos $300$.

Answer 2

Cuando los cálculos son grandes factoriales, el uso de la aproximación de Stirling para $n!$ es muy conveniente. En su caso, se comparan $n!$$n^{n/2}$. Podemos tomar logaritmos de ambos lados y utilizar el hecho de que la aproximación de Stirling da $\log(n!)$ cerca de $n \log(n) - n$; el logaritmo del segundo término es simplemente $\dfrac{n \log(n)} {2}$. Usando esta aproximación, se encuentra que el factorial es la mayor brevedad $n > 8$. Sin ningún tipo de aproximación, el factorial es la mayor brevedad $n > 2$ [$n=2$ es la única solución de $n! = n^{n/2}$]

Answer 3

$300!=(300*1) * (299*2) * ... * (151*150)$, 150 par total de productos

$(300^{300})^{1/2}= 300^{150} = 300 * 300 * ... * 300$, 150 cargos de 300 total

ninguno de los par producto en la primera línea es menor que $300$, lo $300!$ es mayor.