Sólo hay respuestas parciales a esta pregunta. En primer lugar, se puede pruebe que el resultado de Walkup no puede demostrarse utilizando argumentos de coloración (creo que lo hice en Nuevos horizontes documento, pero el escenario se formaliza en el Invariantes de la cinta de azulejos papel). En segundo lugar, la prueba de Walkup utiliza un argumento de inducción fácil, y se extiende a las regiones con lados múltiplos de 4. En tercer lugar, estoy bastante seguro de que puede clasificar todos los 6- y 8-gons alicatables por T-tetrominoes. Esto no será conceptual. ¿Por qué hacerlo entonces?
Ahora, motivado por la búsqueda de una prueba mejor, hice una conjetura de "conectividad local de movimientos" que dice que cada dos tilings T-tetromino de una región simplemente conectada están conectados por una serie de movimientos que implican o dos T-tetrominoes o cuatro T-tetrominoes (formando un $4\times 4$ cuadrado). Normalmente, la "prueba conceptual" proviene de algún tipo de función de altura argumento que también demuestra la conectividad de movimiento local. Ahora, Mike Korn en su tesis refutado esto por una simple construcción. Se puede preguntar si el Grupo Conway en toda su generalidad puede demostrar algo parecido a lo que pides. Necesita calcular $F_2/\langle tile~words\rangle$ (véase Conway-Lagarias "Nuevos horizontes" o la tesis de Korn). No lo hicimos, pero no seré muy optimista: es un poco milagroso cuando este enfoque funciona.
Mike y yo aún pudimos demostrar la conjetura (mediante un argumento de función de altura) para rectángulos y las mencionadas regiones de 4 múltiplos, pero esa demostración asume el teorema de Walkup. Independientemente esto fue establecido por los hermanos Makarychev, utilizando un argumento relacionado pero algo diferente (en ruso, basado en la conexión con el modelo de seis vértices). De hecho, en un documento de seguimiento utilizamos el teorema de Walkup como definición de los grafos en los que el número de particiones de garras es "agradable". En fin, espero que esto ayude.
ACTUALIZACIÓN: Acabo de recordar que Michael Reid también realizó el cálculo del T-tetromino (así como muchos otros cálculos) aquí .
