Estimador para $\theta$ utilizando el método de los momentos

Question

Ejercicio :

Utilizando el método de los momentos, encuentre el estimador para $\theta$ para una muestra aleatoria $X_1, \dots, X_n$ que sigue la distribución con pdf $f(x) = \theta x^{-2}, \; 0 < \theta \leq x < \infty$ donde $\theta$ es el parámetro desconocido.

Intento :

$$m_1' = \bar{X}$$

$$_1' = \int_\theta^xu\theta u^{-2}\mathrm{d}u=\int_\theta^x\theta u^{-1}\mathrm{d}u=\big[\theta \ln u\big]_\theta^x =\theta\ln x - \theta\ln\theta$$

Así, el estimador viene dado por :

$$m_1' = _1' \Rightarrow \theta\ln x - \theta\ln\theta = \bar{X}$$

Pero no podemos resolver esa ecuación con respecto a $\theta$ , por lo que tomaremos los momentos de mayor orden :

$$m_2' = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i^2$$ $$_2' = \int_\theta^x u^2 \theta u^{-2} \mathrm{d}u = \int_\theta^x \theta \mathrm{d}u = \big[\theta u\big]_\theta^x =\theta x - \theta ^2 $$

Por lo tanto, la solución de la siguiente ecuación cuadrática para $\theta >0$ da como estimador de $\theta$ :

$$\theta^2-x\theta +\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i^2$$

Pregunta : ¿Es correcta mi solución? ¿El límite superior debe ser $x$ o $\infty$ ?

Answer 1

El límite superior debe ser $\infty$ . Eso es un verdadero problema ya que tenemos :

$$\int_{\theta}^A xf(x)dx\underset{A\to \infty}\to \infty.$$

Entonces cada momento de orden mayor que $1$ no existe. Una forma de estimar $\theta$ es proceder de la siguiente manera :

$$E(1/X)=\int_\theta^{\infty} \theta x^{-3} dx=\frac 1 {2 \theta}.$$

Ya que, por LLN :

$$\frac 1 n \sum_{i=1}^n \frac 1 {X_i} \to E(1/X)=\frac1{2 \theta}.$$

Deducimos :

$$\frac 2 n \sum_{i=1}^n \frac 1 {X_i} \to \frac 1 \theta.$$