Representación de $SO^{+}(3,1)$ para campos escalares

Question

Hasta donde yo sé, los generadores de la representación del grupo de las transformaciones ortocrónicas de Lorentz $SO^{+}(3,1)$ se puede escribir de la siguiente forma: $$J^{\mu \nu} = i(x^{\mu}\partial^{\nu}-x^{\nu}\partial^{\mu})$$ Así que esto significaría que podríamos escribir para la transformación de Lorentz del campo escalar $\phi(x)$ : $$\phi'(x')=\exp(i\omega_{\mu \nu}J^{\mu \nu})\phi(x)$$ Pero sé que el campo escalar es invariante bajo transformaciones de Lorentz, así que $$\phi'(x')=\phi(x)$$ ¿Cómo es posible que estas dos expresiones no se contradigan? Si se amplía el exponente, es decir $$\exp(i\omega_{\mu \nu}J^{\mu \nu})=1+i\omega_{\mu \nu}J^{\mu \nu}+O(\omega^2)$$ entonces uno tiene términos como $i\omega_{12}i(x\partial_y-y\partial_x)+\ ...$

¿Por qué esta exponencial que actúa sobre el campo escalar deja invariante al campo escalar?

Answer 1

El campo escalar se transforma en la representación trivial del grupo de Lorentz, por lo que $J^{\mu\nu} = 0$ para campos escalares.

La ecuación $J^{\mu\nu} = \mathrm{i}\left(x^\mu\partial^\nu - x^\nu \partial^\mu\right)$ sólo es cierto cuando el momento se representa como $p^\mu = \partial^\mu$ es decir, esta expresión es para $J^{\mu\nu}$ actuando sobre un función de onda no en un campo cuántico.

Nótese que hay dos representaciones diferentes en las que se puede pensar en el contexto de un campo cuántico - la de dimensión finita en el espacio objetivo clásico del campo, y la unitaria de dimensión infinita en el espacio de estados de la teoría cuántica, véase también esta respuesta mía . La declaración $J^{\mu\nu} = 0$ para un campo escalar es en el contexto del finito-dimensional representación.