En las soluciones a las ecuaciones de Einstein normalmente se mira cómo una masa curva el espaciotiempo y cómo afecta a la geodésica de una partícula de prueba. Así que sólo se considera el movimiento libre de la partícula. Sé que hay una solución con un agujero negro que tiene una carga eléctrica y entonces uno puede describir cómo una partícula de prueba cargada neutralmente será atraída y repelida y así sucesivamente. Pero, ¿y si la partícula de prueba tiene carga eléctrica? ¿Existe alguna solución que describa cómo interactúan las cargas eléctricas en la relatividad general o es demasiado difícil de resolver?
Respuesta
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Bueno, ¡por supuesto que la Relatividad General puede manejar partículas cargadas en campos electromagnéticos! Las ecuaciones de movimiento para una partícula de este tipo son la generalización a un espaciotiempo curvo de la ecuación de Lorentz,
$$ \frac{d^{2}x^{\mu}}{ds^{2}}=-\Gamma^{\mu}_{\nu\sigma}\ \frac{d x^{\nu}}{ds} \frac{d x^{\sigma}}{ds}+\frac{q}{m}\ F^{\mu}_{\ \ \nu}\ \frac{d x^{\nu}}{ds}\qquad\qquad (\star) $$
$(c=1)$ donde $s$ es el tiempo propio a lo largo de la línea del mundo de la partícula, $F_{\mu\nu}$ es el tensor de intensidad de campo electromagnético y $F^{\mu}_{\ \ \nu}=g^{\mu\sigma}\ F_{\sigma \nu}$ . La ecuación es simplemente la ecuación geodésica más un término de fuerza electromagnética y puede derivarse de la acción
$$ S=-m\int ds\ \bigg\{\sqrt{g_{\mu\nu}\frac{dx^{\mu}}{ds}\frac{d x^{\nu}}{ds}}+\frac{q}{m}\ A_{\mu}\,\frac{d x^{\mu}}{ds}\bigg\} $$
definiendo $F_{\mu\nu}=\partial_{\mu}A_{\nu}-\partial_{\nu}A_{\mu}$ . Ecuación $(\star)$ difiere de la ecuación de Lorentz en el espaciotiempo plano en que la gravedad entra en ambas a través de los símbolos de Christoffel $\Gamma^{\mu}_{\nu\sigma}$ y a través de la métrica inversa utilizada para elevar el índice de $F^{\mu}_{\ \ \nu}$ . Además, las ecuaciones de Maxwell también se modifican en un espaciotiempo curvo, como sigue:
$$ \nabla_{\mu}F^{\mu\nu}=J^{\nu} $$
Aquí $J^{\mu}$ es la fuente de cuatro corrientes para el campo electromagnético y $\nabla_{\mu}$ es la derivada covariante asociada a la métrica. Dado que la gravedad entra en las ecuaciones de Maxwell a través de la derivada covariante y el aumento de los índices de $F^{\mu\nu}$ sus soluciones son diferentes de sus análogas en un espaciotiempo plano. Por lo tanto, también las $F_{\mu\nu}$ en la ecuación de Lorentz es, en general, diferente de la del espaciotiempo plano.
