Potencia de la bomba de agua

Question

Imaginemos una bomba de agua que impulsa agua por una tubería:

Queremos hallar la energía que debe gastar la bomba de agua para que el agua siga fluyendo por la tubería. Escribiendo la segunda ley de Newton para el agua que fluye por una sección cilíndrica de la misma,

$$ F= v \frac{dm}{dt}$$

Ahora, $$ P = F \cdot v$$

$$ P= v \frac{dm}{dt} v$$

$$ \frac{dm}{dt} = \rho A v$$

$$ P= v^3 \rho A $$

Ahora la respuesta real tiene un factor de la mitad, ¿en qué parte de esta derivación me he equivocado?

Answer 1

Yo también puedo soltar un problema similar. Por eso, me encanta el cálculo.

Problema de clases elementales (sin cálculo... Cuando a un alumno no se le enseña cálculo y vectores). La fuerza de un muelle es $$F=-kx$$ ¿cuál es el trabajo de la primavera? $$W=-Fx$$ $$=kx^2$$ ¿Dónde está el $2$ ¿Factor? Pero si hubieras escrito $$W=\int \vec F\cdot \mathrm d(-\vec x)$$ Entonces obtendrá el resultado esperado.

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Empecemos por la segunda ley de Newton. $$\vec F=\frac{d\vec p}{dt}$$ $$=m\vec a+\vec v \frac{dm}{dt}$$ $$m=\rho Ax_0$$ así que $$\frac{dm}{dt}=\rho Av_0$$

$$P=\int\frac{dW}{dt}=\int \vec F\cdot d\vec v$$ $$=\int_0^{v_0} [m\frac{d\vec v}{dt}+\vec v \frac{dm}{dt}] \cdot \mathrm d\vec v$$ $dm/dt$ es independiente de $v$ así que puedes considerarlo como constante. Incluso podrías preguntarte ¿por qué hay un término extra? El extra es válido si el agua no fluye con velocidad constante.