Imaginemos una bomba de agua que impulsa agua por una tubería:
Queremos hallar la energía que debe gastar la bomba de agua para que el agua siga fluyendo por la tubería. Escribiendo la segunda ley de Newton para el agua que fluye por una sección cilíndrica de la misma,
$$ F= v \frac{dm}{dt}$$
Ahora, $$ P = F \cdot v$$
$$ P= v \frac{dm}{dt} v$$
$$ \frac{dm}{dt} = \rho A v$$
$$ P= v^3 \rho A $$
Ahora la respuesta real tiene un factor de la mitad, ¿en qué parte de esta derivación me he equivocado?
La razón por la que las respuestas difieren es que tu pregunta no está bien especificada. Tienes que decir más sobre cómo se mueve el agua.
Escenario 1: flujo en estado estacionario
Supongamos una tubería larga por la que circula agua a velocidad constante $v$ . ¿Cuánta energía se necesita para mantener el agua fluyendo a esa velocidad? Por supuesto, en ausencia de pérdidas viscosas o turbulentas (que despreciaré a lo largo de esta respuesta), la respuesta es simplemente cero Al igual que se necesita cero energía para mantener un bloque deslizándose a velocidad constante sobre una superficie sin fricción.
Así que para obtener una respuesta no trivial, es necesario especificar cómo nuevo el agua pasa del reposo a la velocidad $v$ . Es decir, hay que pensar en cómo entra el agua en la tubería.
Hipótesis 2: flujo conservador
Supongamos que metemos el extremo de la tubería en un recipiente lleno de agua. O bien hacemos funcionar una bomba para que el agua atraviese la tubería a la velocidad deseada, o bien, si el recipiente de agua es lo suficientemente alto, podemos simplemente utilizar la presión hidrostática preexistente. Tendremos que gastar energía para que el agua fluya por la tubería, ya sea energía eléctrica en la bomba o energía potencial gravitatoria en el agua del recipiente. Para concretar, digamos que la tubería está unida cerca de la parte superior del recipiente, por lo que la energía sólo procede de una bomba.
Si no hay pérdidas viscosas ni turbulentas, la potencia que hay que introducir es igual a la tasa de cambio de la energía cinética del agua, $$P = \frac{dK}{dt} = \frac12 \frac{dm}{dt} v^2 = \frac12 \rho A v^3.$$ Este es el resultado que dan varias de las otras respuestas.
¿Por qué no funciona tu argumento?
Es algo sutil. En primer lugar, como han dicho las otras respuestas, si pones una bomba a la entrada de la tubería, entonces acelera el agua a medida que pasa. Por lo tanto, no se puede utilizar la ecuación $$P_{\mathrm{pump}} = F_{\mathrm{pump}} v$$ porque en realidad la velocidad del agua aumenta continuamente de cero a $v$ . Sin embargo, esta no es una respuesta completa, porque también se podría colocar la bomba de agua en el centro de la tubería, donde el agua ya fluye con una velocidad uniforme. $v$ . En ese caso, suponiendo una bomba ideal, su ecuación $P_{\mathrm{pump}} = F_{\mathrm{pump}} v$ es perfectamente correcto.
Aquí el problema es en realidad tu primera ecuación, que asume implícitamente que la fuerza de la bomba es la única fuerza externa en el sistema. Piensa en la entrada de la tubería. El agua del exterior se mueve a una velocidad casi nula, mientras que el agua del interior lo hace a una velocidad considerable. Así, por el principio de Bernoulli, la presión es mayor fuera de la bomba, y esta diferencia de presión proporciona una fuerza adicional que ayuda a acelerar el agua. De hecho, para ciertas geometrías idealizadas, es exactamente igual a $F_{\mathrm{pump}}$ lo que implica que $F_{\mathrm{pump}}$ es sólo la mitad de la fuerza neta. Insertando este factor de $2$ recupera la respuesta correcta.
Este factor de $2$ es un efecto bien conocido en fontanería (es decir, en dinámica de fluidos aplicada), que da lugar al fenómeno de vena contracta . Generalmente no se menciona en la física introductoria, porque es algo sutil, pero los pioneros de la dinámica de fluidos siempre lo tuvieron en cuenta, ya que de lo contrario todos sus resultados serían totalmente erróneos.
Escenario 3: proceso inherentemente inelástico
También hay situaciones en las que algo parecido a tu respuesta es correcto. Por ejemplo, supongamos que tenemos un canal circular muy largo, por el que el agua corre a una velocidad $v$ . Supongamos ahora que la lluvia cae sobre la cubeta, aumentando la masa de agua a razón de $dm/dt$ mientras una bomba dentro del agua lo mantiene a velocidad constante. Entonces tu derivación sería correcta, porque no hay fuerzas externas importantes aparte de la de la bomba, por lo que $$P = \frac{dm}{dt} \, v^2$$ sin factor de $1/2$ . Por otro lado, por conservación de la energía tenemos $$P = \frac12 \frac{dm}{dt} \, v^2 + \frac{dE_{\mathrm{int}}}{dt}$$ donde $E_{\mathrm{int}}$ es la energía interna del agua. Estas dos expresiones son compatibles si $$\frac{d E_{\mathrm{int}}}{dt} = \frac12 \frac{dm}{dt} \, v^2.$$ ¿Pero no dije antes que ignorábamos todas las pérdidas viscosas y turbulentas? Bueno, en este caso, no se puede. Si no hubiera viscosidad ni turbulencia, el agua de lluvia se quedaría quieta encima del agua que fluye y la bomba no necesitaría energía. Se necesita algún tipo de disipación para que la lluvia alcance su velocidad. $v$ . Como se trata esencialmente de una colisión inelástica, disipa energía, lo que hace que la potencia de bombeo sea dos veces mayor que el resultado ingenuo. Este es otro famoso factor de $2$ (sin relación con el anterior) que aparece regularmente en problemas complicados de física de secundaria.
La fuerza aplicada sobre un elemento infinitesimal de masa $\mathrm d m$ por la bomba será
$$\mathrm dF=\mathrm d m \: a =\mathrm dm \frac{\mathrm dv}{\mathrm dt}$$
Ahora, puedes cambiar $\mathrm dm$ y $\mathrm dv$ para obtener
$$\mathrm dF=\mathrm dv \frac{\mathrm dm}{\mathrm dt}$$
Aquí $\mathrm dm/\mathrm dt$ es $\rho A v_0$ donde $v_0$ es la velocidad final con la que sale el agua y, por tanto, es una constante. Así que la expresión de la fuerza será
$$\mathrm dF=\rho A v_0 \:\mathrm dv$$
Ahora, la potencia aplicada al elemento infinitesimal en cualquier instante será
$$\mathrm dP=\mathrm dF \: v$$
donde $v$ es la velocidad del elemento en ese instante. Así que al integrar, se obtiene
$$\int \mathrm dP=\rho A v_0 \int_0^{v_0}v\:\mathrm dv$$
Así se obtiene
$$\boxed{P=\frac 1 2 \rho A v_0^3}$$
La pregunta trata de evaluar la potencia de la bomba para un caso muy especial: caudal constante en una tubería horizontal sin pérdidas por fricción donde la velocidad de entrada es pequeña, y donde todo el trabajo de la bomba se dedica a crear una diferencia de presión constante independientemente del caudal. La potencia de la bomba para este caso especial no es la potencia de la bomba para una red de caudal en general, especialmente teniendo en cuenta el cambio en la potencia de la bomba con el comportamiento del caudal para la bomba centrífuga comúnmente utilizada. Por lo tanto, proporciono una discusión general sobre el "trabajo del caudal" y la aplicación de la ecuación de Bernoulli. A continuación, al final de esta respuesta, utilizaré los resultados generales para abordar este caso especial y llegar a la misma conclusión que otras personas que han respondido a esta pregunta; en concreto, explicar la ${1 \over 2}$ en la potencia de la bomba. Incluyo la discusión general, bastante larga, para subrayar que el resultado de la potencia de bombeo para el caso especial no es válido en general.
En una posición de la tubería en la que el área de la sección transversal es $A$ y la velocidad del fluido es $V$ la tasa de flujo de energía por unidad de masa es $e_f \dot m_f$ donde $e_f$ (J/kg) es la energía por unidad de masa de la masa que fluye $m_f$ (kg), y $\dot m_f$ (kg/seg) es la velocidad a la que fluye la masa a través del área de la sección transversal $A$ . Como se muestra en la siguiente figura, $\dot m_f$ es igual a $\rho AV$ donde $\rho$ es la densidad; $A$ y $V$ pueden ser funciones de la posición. $e_f = h + {V^2 \over 2} + zg$ (J/kg) donde $h$ es la entalpía por unidad de masa, $V$ la velocidad, $z$ la elevación, y $g$ la aceleración de la gravedad.
Existe un "trabajo de flujo" asociado al empuje de masa a través de una frontera. La entalpía por unidad de masa se define como $h = u + p/\rho$ donde $u$ es la energía interna por unidad de masa y $p$ es la presión. El $p/\rho$ a veces se denomina "trabajo de flujo", ya que es el trabajo por unidad de masa realizado en la frontera por el fluido que sigue a $\Delta m_f$ empujar $\Delta m_f$ a través de la distancia $V\Delta t$ .
Para más detalles, consulte un buen libro de termodinámica básica, como Thermodynamics de Obert, donde se desarrolla la primera ley de la termodinámica para un sistema abierto, definido como aquel en el que la masa puede entrar y salir del sistema.
Es importante entender que la discusión anterior es para la masa que fluye a través de un límite fijo. En la mayoría de las aplicaciones, nos interesa el cambio de energía de un sistema (un sistema termodinámico abierto), definido como una región entre fronteras a través de la cual puede fluir masa. Consideremos un sistema con una frontera 1 por la que entra masa y una frontera 2 por la que sale masa. El "trabajo de flujo" por unidad de masa realizado por el entorno sobre el sistema debido a que el fluido del entorno empuja masa hacia el sistema en el límite 1 es $p_1/\rho_1$ . El "trabajo de flujo" por unidad de masa realizado por el sistema sobre los alrededores debido a que el fluido en el sistema empuja masa hacia los alrededores como límite 2 es $p_2/\rho_2$ . La energía por unidad de masa que entra en el sistema por el límite 1 es $e_{f_\enspace 1}$ y la energía por unidad de masa que sale del sistema por el límite 2 es $e_{f_\enspace 2}$ .
La potencia de la bomba es la tasa de trabajo realizado por la bomba en un sistema. La potencia de la bomba depende tanto de las características de la altura de elevación de la bomba como de la altura del sistema para los elementos de caudal (tuberías y accesorios) que alimenta la bomba. La altura de la bomba puede depender del caudal y el caudal depende de la altura del sistema. Suponiendo un flujo en estado estacionario para un líquido incompresible, la primera ley de la termodinámica para un sistema de flujo estacionario puede expresarse mediante la ecuación de Bernoulli. La altura tiene unidades de distancia (metros) y es simplemente cada término de la ecuación de Bernoulli expresado en metros.
Considere el sistema de bombeo que se muestra en la siguiente figura utilizando una bomba centrífuga. La bomba funciona en un punto de funcionamiento determinado por la intersección de la curva de altura de la bomba con la curva de altura del sistema. Para una bomba centrífuga, la altura de bombeo $h_{pump}$ disminuye con el caudal volumétrico $Q$ (metros cúbicos por segundo) y la altura del sistema aumenta con $Q$ debido a las pérdidas por fricción en la red de flujo. El trabajo por unidad de masa $W_{mass}$ (J/kg) realizado por la bomba es igual a $gh_{pump}$ y $h_{pump} = h_{system}$ donde $g$ es la aceleración de la gravedad, $h_{pump}$ es la altura de la bomba en el punto de funcionamiento y $h_{system}$ es la altura del sistema en el punto de funcionamiento. La potencia de la bomba es $P_{pump} = \rho Qgh_{pump} = \rho Qgh_{system}$ (J/seg) donde $\rho$ es la densidad del líquido. Por tanto, para evaluar la potencia de la bomba es necesario conocer el punto de funcionamiento, que depende de las características de la bomba y del sistema de caudal que alimenta. La potencia "de frenado" es la potencia suministrada a la bomba por el impulsor (por ejemplo, un motor o una turbina) y es igual a la potencia de la bomba dividida por el rendimiento de la bomba. Para más detalles, véase el Manual de bombas, editado por Karassik et al.
Consideremos ahora el caso especial de un sistema definido como flujo constante en una tubería horizontal sin pérdidas por fricción en la que la velocidad de entrada es pequeña. Para evitar problemas con el funcionamiento de una bomba real, la "bomba" aquí es una cabeza de líquido en un tanque grande con la tubería en el fondo del tanque. Este ejemplo se basa en la respuesta de @knzhou a esta pregunta. 1 es el fondo del tanque y 2 es el extremo de la tubería.
La ecuación de Bernoulli para el sistema es ${p_1 \over \rho} + {V_1^2 \over 2} = {p_2 \over \rho} + {V_2^2 \over 2}$ . Para una velocidad despreciable $V_1$ tenemos ${(p_1 - p_2) \over \rho} = {V_2^2 \over {2}}$ (J/kg). El caudal másico es $\rho AV_2$ (kg/seg) por lo que la potencia es ${V_2^2 \over {2}} \rho AV_2 = {1 \over 2} \rho A V_2^3$ (J/seg o vatios) debido a la diferencia de presión $p_1 - p_2$ . Esta diferencia de presión es creada por la altura del líquido. Este es el mismo enfoque utilizado por otras personas que han respondido a esta pregunta. Como ya se ha comentado, se trata de la potencia para este caso especial, y no es en general la potencia de la bomba para una red de caudal.
La potencia también puede evaluarse considerando el "trabajo de flujo". El trabajo de flujo neto por unidad de masa realizado sobre el fluido en la tubería (flujo de entrada menos flujo de salida) es ${(p_1 - p_2) \over \rho}$ (J/kg), y como se ha demostrado anteriormente, para el caso especial que nos ocupa, esto da como resultado que la potencia de la bomba es de ${1 \over 2} \rho A V_2^3$ .
La potencia es la tasa que necesitas para añadir energía. En cada intervalo de tiempo $\Delta t$ tienes que acelerar un nuevo trago de agua $\Delta m$ de cero a la velocidad $v$ que requiere energía $\Delta E=\frac{1}{2}\Delta m v^2$ . Ahora, $\Delta m=\rho A v \Delta t$ Así que $$\frac{\Delta E}{\Delta t}=\frac{1}{2}\rho A v^3.$$
En cuanto a dónde en su derivación se equivocó, es una mala aplicación de $P=F\cdot v$ . Esta expresión es válida si $v$ es constante durante el periodo en que $F$ se aplica. Este no es el caso: $F$ acelera la masa diferencial de agua $dm$ de 0 a $v$ su velocidad media durante este proceso es $v/2$ .
El ingeniero toma la salida fácil, como sigue.
Para comprobar su trabajo, recuerde que potencia es el producto de un variable de esfuerzo (presión en este caso) y a variable de caudal (caudal másico en este caso), procurando que las unidades sean coherentes. Si se conoce la presión de la fuente que actúa sobre la masa que fluye, se conoce la potencia.
Así que, como Darth Vader podría haber dicho pero no lo hizo, nunca subestimes el poder de la fuerza por la distancia dividida por el tiempo . Hay que hacerlo así para que las unidades salgan bien.
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