matriz traza forma bilineal

Question

Me pregunto sobre este problema de las formas bilineales :

Tenemos $\phi : \mathbb{M_{n}(R)}*\mathbb{M_{n}(R)} \rightarrow \mathbb{R}$ $$(A,B) \rightarrow trace(AB)$$

He probado $\phi$ es una forma bilineal y simétrica, pero ¿cómo podríamos demostrar que es una forma no generada?

Además si tenemos $\mathbb{S_{n}(R)}$ el subespacio de $\mathbb{M_{n}(R)}$ formado por una matriz simétrica, demuestre la restricción de $\phi$ a $\mathbb{S_{n}(R)}*\mathbb{S_{n}(R)}$ es también una forma no degenerada, y luego determinar la ortogonal de $\mathbb{S_{n}(R)}$ para $\phi$

Gracias

Answer 1

Nótese que esta forma bilineal no es degenerada. De hecho se toma $B=^tA$ y obtener $\phi : \mathbb{M_{n}(R)}*\mathbb{M_{n}(R)} \rightarrow \mathbb{R}$ $$(A,^tA) \rightarrow trace(A^tA)\ge0$$ Para hallar el ortogonal de la matriz simétrica observe que si $A$ es una matriz antisimétrica, entonces $$(A,B) =tr(AB)=tr(^t(BA))=tr(^tA^tB)=tr(-AB)=-(A,B)$$ desde aquí $$(A,B)=0$$ Nótese que la forma bilineal no es degenerada obtenemos que la dimensión ortogonal de la matriz simétrica viene dada por $n^2$ - la dimensión de la matriz simétrica. Se obtiene que $$dim \mathbb{S_{n}(R)}^{\perp}=n^2-dim \mathbb{S_{n}(R)}=dim\mathbb{A_{n}(R)}$$ donde $\mathbb{A_{n}(R)}$ son matrices antisimétricas.

Answer 2

Es necesario transponer B en la definición de $\phi$ para obtener una forma no degenerada. (Usted encuentra un 2×2 contraejemplo a la no degeneración para su definición).