¿Cómo encuentro la base ortogonal de este plano?

Question

Pregunta:

$P$ es un plano que pasa por el origen dado por

$x + y + 2z = 0$ .

Encontrar una base ortogonal v ₁ , v ₂ $P$ .

Mi respuesta:

Supongo que la pregunta pide dos vectores que abarcan este plano $P$ . Pero el capítulo al que corresponde este problema no dice nada sobre la $x,y,z$ ecuación de un plano que se dio aquí ... así que hice algunas búsquedas en línea y se enteró de que esto ayuda a encontrar el "vector normal".

En este caso sería $n = (1,1,2)$ ¿verdad?

Entonces, si todos los vectores que abarcan este plano son ortogonales al vector normal, puedo utilizar el producto punto.

He elegido los dos vectores siguientes:

v ₁ \= $(1,1,-1)$

v ₂ \= $(3,3,-3)$

¿Se ha respondido correctamente a esta pregunta?

Answer 1

En primer lugar, encontrar una base para el plano como

$$x + y + 2z = 0 \implies x=-y-2z \implies (x,y,z)=(-y-2z,y,z)$$

$$\implies (-y,y,0)+(-2z,0,z)\implies y(-1,1,0)+z(-2,0,1).$$

Por lo tanto, nuestra base es $\left\{(-1,1,0),(-2,1,0)\right\}$ . Ahora, tiene que aplicar Proceso Gram-Schmidt al conjunto de bases para obtener la base ortogonal.

Answer 2

Su solución no es correcta ya que $v_1$ y $v_2$ son linealmente dependientes. Sin embargo, tu planteamiento es correcto. Necesitamos encontrar otro vector ortogonal a $n$ que no es un múltiplo escalar de $v_1$ . Tenga en cuenta que $(0,1,-2)$ es un vector de este tipo.

Answer 3

La pregunta pide dos vectores en el plano $P$ que son ortogonal entre sí. Puede elegir cualquier vector $\vec{v_1}$ como primer vector, pero no cualquier vector $\vec{v_2}$ . De hecho, hay dos vectores que están en el plano $P$ y que son ortogonales a $\vec{v_1}$ (intenta averiguar por qué).

Además, cualquier vector en $P$ será ortogonal a $\vec{n}$ por definición. Buscamos pues un vector $\vec{v_2}$ que es ortogonal a ambos $\vec{v_1}$ y $\vec{n}$ .

Una de las formas de encontrar $\vec{v_2}$ es utilizar el producto vectorial...

Answer 4

Elija $v_1=(-1,1,0)$ y $v_2=v_1\times n$ . En este caso no se necesita Gram-Schmidt.

Answer 5

$n = (1, 1, 2)$ - normal al plano
$v_1 = (1,1,-1)$ - primer vector base en el plano
$v_2 = n \times v_1 = (-3,3,0)$ - segundo vector base en el plano